Dạng toán về tính Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất , thời gian ngắn nhất và dài nhất

QUÃNG ĐƯỜNG LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

Bài toán 1: Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật đi được khi xét trong cùng khoảng thời gian \(\Delta t\).

Phương pháp giải:

So sánh khoảng thời gian \(\Delta t\)  mà bài toán cho với nửa chu kỳ \(\frac{T}{2}\).

 TH1: Nếu \(0 < t < \frac{T}{2}\)

Vật dao động điều hòa có tốc độ càng lớn khi vật càng gần vị trí cân bằng và tốc độ càng nhỏ khi vật càng gần vị trí biên nên xét trong cùng một khoảng thời gian, quãng đường đi được càng dài khi vật ở càng gần vị trí cân bằng và càng ngắn khi vật càng gần vị trí biên. Do có tính đối xứng nên quãng đường dài nhất gồm 2 phần bằng nhau đối xứng qua vị trí cân bằng, còn quãng đường ngắn nhất cũng gồm 2 phần bằng nhau nhưng đối xứng qua vị trí biên.

Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.

Ta có: Góc quét \(\varphi = \omega t.\)

Quãng đường lớn nhất đối xứng qua trục sin khi vật đi từ \({M_1} \to {M_2}\) (hình 1):

\({S_{\max }} = 2A\sin \frac{{\varphi }}{2} = 2A\sin \frac{{\omega .t}}{2}.\)

Quãng đường ngắn nhất đối xứng nhau qua trục cos khi vật đi từ \({M_1} \to {M_2}\) (hình 2):

\({S_{\min }} = 2A\left( {1 - \cos \frac{{\varphi }}{2}} \right) = 2A\left( {1 - \cos \frac{{\omega .t}}{2}} \right).\)

 TH2: Nếu \(t > \frac{T}{2}.\)

Tách \(t = n.\frac{T}{2} + t'\)  ở đó \(n \in *;0 < t' < \frac{T}{2}.\)

Với khoảng thời gian \(n\frac{T}{2}\) thì quãng đường vật đi được là 2nA.

Trong khoảng thời gian \(t' = \frac{T}{2}\) thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất được tính một trong hai cách như trường hợp 1.

Bài toán 2: Tính thời gian ngắn nhất và dài nhất khi xét cùng độ dài quãng đường S.

Phương pháp giải:

Vật dao động điều hòa có tốc độ càng lớn khi vật càng gần vị trí cân bằng và tốc độ càng nhỏ khi vật càng gần vị trí biên nên trong cũng quãng đường, khoảng thời gian sẽ dài khi vật đi gần vị trí biên. Khoảng thời gian sẽ ngắn khi vật đi xung quanh gần vị trí cân bằng.

 TH1: Nếu S < 2A ta có:

Thời gian ngắn nhất vật đi được quãng đường S:

\(S = 2A\sin \frac{{{\varphi _{\min }}}}{2} = 2A\sin \frac{{\omega {t_{\min }}}}{2}.\)

Thời gian dài nhất vật đi được quãng đường S:

\(S = 2A\left( {1 - \cos \frac{{{\varphi _{\max }}}}{2}} \right) = 2A\left( {1 - \cos \frac{{\omega {t_{\max }}}}{2}} \right).\)

 TH2: Nếu \(S > 2A \Rightarrow S = n.2A + S' \Rightarrow t = n\frac{T}{2} + t'\left( {S' < 2A} \right).\)

Khi đó ta tìm \({t'_{\min }}\)  hoặc \({t'_{\max }}\) như trường hợp 1.

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T. Tìm quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật đi được trong các khoảng thời gian sau: A.    \(\frac{T}{6}.\)                             B.   \(\frac{T}{4}.\)                                   C.  \(\frac{T}{3}.\)                               D. \(\frac{2T}{3}.\)

Lời giải

Dựa vào trục thời gian và các khoảng thời gian đặc biệt, ta có:

1. Ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{T}{6} = \frac{T}{{12}} + \frac{T}{{12}}\\ \Rightarrow {S_{\max }} = \frac{A}{2} + \frac{A}{2} = A;\\ {S_{\min }} = 2\left( {A - \frac{{A\sqrt 3 }}{2}} \right) \end{array}\)

Hoặc:

\(\begin{array}{l} t = \frac{T}{6}\\ \Rightarrow \varphi = \frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{6} = \frac{\pi }{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {S_{\max }} = 2A\sin \frac{\pi }{6} = A\\ {S_{\min }} = 2A\left( {1 - \cos \frac{\pi }{6}} \right) = 2\left( {A - \frac{{A\sqrt 3 }}{2}} \right) \end{array} \right.. \end{array}\)

2. Ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{T}{4} = \frac{T}{8} + \frac{T}{8}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {S_{\max }} = 2.\frac{{A\sqrt 2 }}{2} = A\sqrt 2 \\ {S_{\min }} = 2\left( {A - \frac{{A\sqrt 2 }}{2}} \right) = A\left( {2 - \sqrt 2 } \right) \end{array} \right.. \end{array}\)

Hoặc:

\(\begin{array}{l} t = \frac{T}{8}\\ \Rightarrow \varphi = \frac{{2\pi }}{T}.\frac{T}{8} = \frac{\pi }{4}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {S_{\max }} = 2A\sin \frac{\pi }{4} = A\sqrt 2 \\ {S_{\min }} = 2A\left( {1 - \cos \frac{\pi }{4}} \right) = \left( {A - A\sqrt 2 } \right) \end{array} \right.. \end{array}\)

3. Ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{T}{3} = \frac{T}{6} + \frac{T}{6}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {S_{\max }} = 2.\frac{{A\sqrt 3 }}{2} = A\sqrt 3 \\ {S_{\min }} = 2\left( {A - \frac{A}{2}} \right) = A \end{array} \right.. \end{array}\)

4. Trong trường hợp này \(t > \frac{T}{2}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{{2T}}{3} = \frac{T}{2} + \frac{T}{6} = \frac{T}{2} + \frac{T}{{12}} + \frac{T}{{12}}\\ \Rightarrow {S_{\max }} = 2A + {{S'}_{\max }} = 2A + A = 3A.\\ {S_{\min }} = 2A + {{S'}_{\min }}\\ = 2A + 2\left( {A - \frac{{A\sqrt 3 }}{2}} \right) = 4A - A\sqrt {3.} \end{array}\)

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình \(x = 8\cos \left( {5\pi t + \frac{\pi }{4}} \right)cm\) . Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian 0,7s là A. 53,66 cm.                      B. 59,31 cm.                           C. 56 cm.                           D. 61,86 cm.

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l} T = \frac{{2\pi }}{\omega } = 0,4s;\frac{{t}}{T} = \frac{7}{4}\\ \Rightarrow t = 3\frac{T}{2} + \frac{T}{4}\\ \Rightarrow {S_{\max }} = 3.2A + {{S'}_{\max \left( {\frac{T}{4}} \right)}} \end{array}\)

Mặt khác  :

\(\begin{array}{l} \frac{T}{4} = \frac{T}{8} + \frac{T}{8}\\ \Rightarrow {{S'}_{\max }} = A\sqrt 2 = 8\sqrt 2 \\ \Rightarrow {S_{\max }} = 48 + 8\sqrt 2 = 59,31cm. \end{array}\)

Chọn B.

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình  \(x = 10\cos \left( {\frac{{4\pi t}}{3} + \frac{\pi }{4}} \right)cm.\) Quãng đường ngắn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian \(t = 11,5s\) là A. 302,7 cm.                      B. 310 cm.                              C. 160 cm.                         D. 152,7 cm.

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l} T = \frac{{2\pi }}{\omega } = 1,5s;\frac{{t}}{T} = \frac{{23}}{3}\\ \Rightarrow t = 15\frac{T}{2} + \frac{T}{6} = 15.\frac{T}{2} + \frac{T}{{12}} + \frac{T}{{12}}. \end{array}\)

Do đó  :

\(\begin{array}{l} {S_{\max }} = 15.2A + {{S'}_{\min }}\\ = 30A + 2A - A\sqrt 3 = 302,7cm. \end{array}\)

Chọn A.

...

---Để xem tiếp nội dung Chuyên đề Tính Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất , thời gian ngắn nhất và dài nhất, các em vui lòng đăng nhập vào trang Chúng tôi để xem online hoặc tải về máy tính---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Dạng toán về tính Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất , thời gian ngắn nhất và dài nhất. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập .

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Tổng hợp chuyên đề lý thuyết Dao động cơ học 2018

• Rèn luyện kỹ năng lập phương trình Dao động điều hòa Vật lý 12

• Bài tập và công thức tính nhanh về Con lắc lò xo, Con lắc đơn trong DĐĐH

Chúc các em học tập tốt !