Chuyên đề Phương trình tích Toán 8

Chuyên đề

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

I. Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình tích và cách giải

Phương trình tích có dạng A( x ).B( x ) = 0

Cách giải phương trình tích A( x ).B( x ) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}
A(x) = 0\\
B(x) = 0
\end{array} \right.\) 

Cách bước giải phương trình tích

Bước 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tổng quát A( x ).B( x ) = 0 bằng cách:

Chuyển tất cả các hạng tử của phương trình về vế trái. Khi đó vế phải bằg 0.

 Phân tích đa thức ở vế phải thành nhân tử

Bước 2: Giải phương trình và kết luận

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình ( x + 1 )( x + 4 ) = ( 2 - x )( 2 + x )

Hướng dẫn:

Ta có: ( x + 1 )( x + 4 ) = ( 2 - x )( 2 + x ) ⇔ x2 + 5x + 4 = 4 - x2

⇔ 2x2 + 5x = 0 ⇔ x( 2x + 5 ) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 5/2; 0 }

Ví dụ 2: Giải phương trình x3 - x2 = 1 - x

Hướng dẫn:

Ta có: x3 - x2 = 1 - x ⇔ x2( x - 1 ) = - ( x - 1 )

⇔ x2( x - 1 ) + ( x - 1 ) = 0 ⇔ ( x - 1 )( x2 + 1 ) = 0

( 1 ) ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1.

( 2 ) ⇔ x2 + 1 = 0 (Vô nghiệm vì x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 1 ≥ 1 )

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 1 }

II. Bài tập tự luyện

1. Bài tập tự luận

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) ( 5x - 4 )( 4x + 6 ) = 0

b) ( x - 5 )( 3 - 2x )( 3x + 4 ) = 0

c) ( 2x + 1 )( x2 + 2 ) = 0

d) ( x - 2 )( 3x + 5 ) = ( 2x - 4 )( x + 1 )

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( 5x - 4 )( 4x + 6 ) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 3/2; 4/5 }.

b) Ta có: ( x - 5 )( 3 - 2x )( 3x + 4 ) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 4/3; 3/2; 5 }.

c) Ta có: ( 2x + 1 )( x2 + 2 ) = 0

Giải ( 1 ) ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ 2x = - 1 ⇔ x = - 1/2.

Ta có: x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 2 ≥ 2 ∀ x ∈ R

⇒ Phương trình ( 2 ) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { - 1/2 }.

d) Ta có: ( x - 2 )( 3x + 5 ) = ( 2x - 4 )( x + 1 )

⇔ ( x - 2 )( 3x + 5 ) - 2( x - 2 )( x + 1 ) = 0

⇔ ( x - 2 )[ ( 3x + 5 ) - 2( x + 1 ) ] = 0

⇔ ( x - 2 )( x + 3 ) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 3;2 }.

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) ( 2x + 7 )2 = 9( x + 2 )2

b) ( x2 - 1 )( x + 2 )( x - 3 ) = ( x - 1 )( x2 - 4 )( x + 5 )

c) ( 5x2 - 2x + 10 )2 = ( 3x2 + 10x - 8 )2

d) ( x2 + x )2 + 4( x2 + x ) - 12 = 0

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( 2x + 7 )2 = 9( x + 2 )2

⇔ ( 2x + 7 )2 - 9( x + 2 )2 = 0

⇔ [ ( 2x + 7 ) + 3( x + 2 ) ][ ( 2x + 7 ) - 3( x + 2 ) ] = 0

⇔ ( 5x + 13 )( 1 - x ) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 13/5; 1 }.

b) Ta có: ( x2 - 1 )( x + 2 )( x - 3 ) = ( x - 1 )( x2 - 4 )( x + 5 )

⇔ ( x2 - 1 )( x + 2 )( x - 3 ) - ( x - 1 )( x2 - 4 )( x + 5 ) = 0

⇔ ( x - 1 )( x + 1 )( x + 2 )( x - 3 ) - ( x - 1 )( x - 2 )( x + 2 )( x + 5 ) = 0

⇔ ( x - 1 )( x + 2 )[ ( x + 1 )( x - 3 ) - ( x - 2 )( x + 5 ) ] = 0

⇔ ( x - 1 )( x + 2 )[ ( x2 - 2x - 3 ) - ( x2 + 3x - 10 ) ] = 0

⇔ ( x - 1 )( x + 2 )( 7 - 5x ) = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { - 2; 1; 7/5 }.

c) Ta có: ( 5x2 - 2x + 10 )2 = ( 3x2 + 10x - 8 )2

⇔ ( 5x2 - 2x + 10 )2 - ( 3x2 + 10x - 8 )2 = 0

⇔ [ ( 5x2 - 2x + 10 ) - ( 3x2 + 10x - 8 ) ][ ( 5x2 - 2x + 10 ) + ( 3x2 + 10x - 8 ) ] = 0

⇔ ( 2x2 - 12x + 18 )( 8x2 + 8x + 2 ) = 0

⇔ 4( x2 - 6x + 9 )( 4x2 + 4x + 1 ) = 0

⇔ 4( x - 3 )2( 2x + 1 )2 = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {- 1/2; 3}.

d) Ta có: ( x2 + x )2 + 4( x2 + x ) - 12 = 0

Đặt t = x2 + x, khi đó phương trình trở thành:

t2 + 4t - 12 = 0 ⇔ ( t + 6 )( t - 2 ) = 0

+ Với t = - 6, ta có: x2 + x = - 6 ⇔ x2 + x + 6 = 0 ⇔ ( x + 1/2 )2 + 23/4 = 0

Mà ( x + 1/2 )2 + 23/4 ≥ 23/4 ∀ x ∈ R ⇒ Phương trình đó vô nghiệm.

+ Với t = 2, ta có x2 + x = 2 ⇔ x2 + x - 2 = 0

⇔ ( x + 2 )( x - 1 ) = 0 ⇔ 

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { - 2;1 }.

2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Nghiệm của phương trình ( x + 2 )( x - 3 ) = 0 là?

A. x = - 2.   B. x = 3.

C. x = - 2; x = 3.   D. x = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: ( x + 2 )( x - 3 ) = 0 ⇔ 

Vậy nghiệm của phương trình là x = - 2; x = 3.

Chọn đáp án C.

Bài 2: Tập nghiệm của phương trình ( 2x + 1 )( 2 - 3x ) = 0 là?

A. S = { - 1/2 }.   B. S = { - 1/2; 3/2 }

C. S = { - 1/2; 2/3 }.   D. S = { 3/2 }.

Hướng dẫn giải

Ta có: ( 2x + 1 )( 2 - 3x ) = 0 ⇔ 

Vậy tập nghiệm của phương trình S = { - 1/2; 2/3 }.

Chọn đáp án C.

Bài 3: Nghiệm của phương trình 2x( x + 1 ) = x2 - 1 là?

A. x = - 1.   B. x = ± 1.

C. x = 1.   D. x = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2x( x + 1 ) = x2 - 1 ⇔ 2x( x + 1 ) = ( x + 1 )( x - 1 )

⇔ ( x + 1 )( 2x - x + 1 ) = 0 ⇔ ( x + 1 )( x + 1 ) = 0

⇔ ( x + 1 )2 = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = - 1.

Vậy phương trình có nghiệm là x = - 1.

Chọn đáp án A.

Bài 4: Giá trị của m để phương trình ( x + 2 )( x - m ) = 4 có nghiệm x = 2 là?

A. m = 1.   B. m = ± 1.

C. m = 0.   D. m = 2.

Hướng dẫn giải

Phương trình ( x + 2 )( x - m ) = 4 có nghiệm x = 2, thay x = 2 vào phương trình đã cho

Khi đó ta có: ( 2 + 2 )( 2 - m ) = 4 ⇔ 4( 2 - m ) = 4

⇔ 2 - m = 1 ⇔ m = 1.

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án A.

Bài 5: Giá trị của m để phương trình x3 - x2 = x + m có nghiệm x = 0 là?

A. m = 1.   B. m = - 1.

C. m = 0.   D. m = ± 1.

Hướng dẫn giải

Thay x = 0 vào phương trình x3 - x2 = x + m.

Khi đó ta có: 03 - 02 = 0 + m ⇔ m = 0.

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án C

Trên đây là nội dung tài liệu Chuyên đề nâng cao Bài toán bất đẳng thức, cực trị với tứ giác Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

​Chúc các em học tập tốt!

Tham khảo thêm

Bình luận

Có Thể Bạn Quan Tâm ?