Chuyên đề nâng cao Bài toán bất đẳng thức, cực trị với tứ giác Toán 8

Chuyên đề nâng cao

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ VỚI TỨ GIÁC

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

\(\Delta \)ABC, AC > AB <=> \(\widehat {\rm{B}}{\rm{  >  }}\widehat {\rm{C}}{\rm{.}}\) 

Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :

+  Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

+  Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia.

|b - c| < a < b + c;               

|a - b| < c < a + b ;                  

|a – c| < b < a + c.

Với mọi a, b ta có: \({{\rm{(}}\frac{{{\rm{a  +  b}}}}{{\rm{2}}}{\rm{)}}^{\rm{2}}}^{}{ \ge ^{}}{\rm{ab ;                             2(}}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{  +  }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{{\rm{)}}^{}}{ \ge ^{}}{{\rm{(a  +  b)}}^{\rm{2}}}\)    

Dấu "=" xảy ra <=> a = b.

Ví dụ 1. Cho tứ giác lồi ABCD có AC + AD  BC + BD. Chứng minh AD < BD.

Giải

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Trong tam giác IAD có : AD < IA + ID

Tương tự : BC < IB + IC

Từ đó AD + BC < AC + BD.            (1)

Theo giả thiết: AC + AD  BC + BD.  (2)

Cộng (1) và (2) vế với vế ta được :

AD + BC + AC + AD < AC + BC + BD + BD => AD < BD.

Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh AB, BC, CD, DE lần lượt là a, b, c, d. Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: \({\rm{MP  +  NQ }}{ \le ^{}}\frac{{{\rm{a  +  b  +  c  +  d}}}}{{\rm{2}}}{\rm{.}}\) 

.......

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

1. Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Chứng minh rằng

\(\text{HA + HB + HC  }\frac{2}{3}\left( \text{AB + BC + CA} \right)\text{.}\) 

2. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh CD. Tia phân giác góc ABM cắt AD tại N. Chứng minh \({{\frac{\text{BN}}{\text{MN}}}^{{}}}{{\le }^{{}}}2.\) 

3. Trong tất cả các tứ giác lồi với hai đường chéo có độ dài đã cho và góc giữa hai đường chéo có độ lớn đã cho, xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất.

4. Cho đoạn thẳng AB = a. M là một điểm trên đoạn thẳng AB, vẽ các hình vuông AMCD và BMEF. Xác định vị trí điểm M để tổng \(\text{S}_{\text{AMCD}}^{{}}\text{ + S}_{\text{BMEF}}^{{}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

5. Cho tam giác ABC vuông tại A. M là một điểm nằm trên cạnh huyền BC. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. lìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất.

......

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề nâng cao Bài toán bất đẳng thức, cực trị với tứ giác Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.