Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và các bài toán liên quan

CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC, ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Phương pháp:

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh (P) $\mathrm{\perp }$ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

• Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a $\mathrm{\perp }$ (Q).

• Chứng minh $\left(\widehat{(P),(Q)}\right)={90}^0$

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh d $\mathrm{\perp }$ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

• Chứng minh d $\subset$ (Q) với (Q) $\mathrm{\perp }$ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

• Chứng minh d = (Q) $\cap$ (R) với (Q) $\mathrm{\perp }$ (P) và (R) $\mathrm{\perp }$ (P).

• Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có $AB\mathrm{\perp }\left(BCD\right)$. Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O. Trong (ADC) vẽ $DK\mathrm{\perp }AC$ tại K. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. $\left(ADC\right)\mathrm{\perp }\left(ABE\right)$.

B. $\left(ADC\right)\mathrm{\perp }\left(DFK\right)$.

C. $\left(ADC\right)\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$.

D. $\left(BDC\right)\mathrm{\perp }\left(ABE\right)$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\begin{array}{l}CD\mathrm{\perp }BE\\ CD\mathrm{\perp }AB\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}\\ \begin{array}{l}CD\mathrm{\perp }\left(ABE\right)\\ CD\subset \left(ADC\right)\end{array}\}\Rightarrow \left(ADC\right)\mathrm{\perp }\left(ABE\right)\end{array}$.

Vậy “$\left(ADC\right)\mathrm{\perp }\left(ABE\right)$”: ĐÚNG.

$\begin{array}{l}DF\mathrm{\perp }BC\\ DF\mathrm{\perp }AB\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}\\ \begin{array}{l}DF\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\\ SC\subset \left(ABC\right)\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}\\ \begin{array}{l}DF\mathrm{\perp }AC\\ DK\mathrm{\perp }AC\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}\\ \begin{array}{l}AC\mathrm{\perp }\left(DFK\right)\\ AC\subset \left(ADC\right)\end{array}\}\Rightarrow \left(ADC\right)\mathrm{\perp }\left(DFK\right)\end{array}\end{array}\end{array}$

Vậy “$\left(ADC\right)\mathrm{\perp }\left(DFK\right)$”: ĐÚNG.

Ta có

$\begin{array}{l}CD\mathrm{\perp }BE\\ CD\mathrm{\perp }AB\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{c}\\ \begin{array}{l}CD\mathrm{\perp }\left(ABE\right)\\ CD\subset \left(BDC\right)\end{array}\}\Rightarrow \left(BDC\right)\mathrm{\perp }\left(ABE\right)\end{array}$.

Vậy “$\left(BDC\right)\mathrm{\perp }\left(ABE\right)$”: ĐÚNG.

“$\left(ADC\right)\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$”: SAI

Chọn C

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. $(ABE)\mathrm{\perp }(ADC)$.

B. $(ABD)\mathrm{\perp }(ADC)$.

C. $(ABC)\mathrm{\perp }(DFK)$.

D. $(DFK)\mathrm{\perp }(ADC)$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\mathrm{\perp }\left(BCD\right)\\ \left(ABD\right)\mathrm{\perp }\left(BCD\right)\\ \left(ABC\right)\cap \left(ABD\right)=AB\end{array}\Rightarrow AB\mathrm{\perp }\left(BCD\right)$.

Mặt khác: $\{\begin{array}{l}CD\mathrm{\perp }BE\\ CD\mathrm{\perp }AB\end{array}\Rightarrow CD\mathrm{\perp }\left(ABE\right)$ nên câu A đúng.

$\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\mathrm{\perp }\left(BCD\right)\\ \left(ABC\right)\cap \left(BCD\right)=BC\\ DF\mathrm{\perp }BC\end{array}\Rightarrow DF\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ nên câu C đúng.

Theo trên ta có $DF\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ nên $DF\mathrm{\perp }AC$.

Vậy ta có $\{\begin{array}{l}AC\mathrm{\perp }DF\\ AC\mathrm{\perp }DK\end{array}\Rightarrow AC\mathrm{\perp }\left(DKF\right)\Rightarrow \left(ACD\right)\mathrm{\perp }\left(DKF\right)$. Do đó câu D đúng.

Chọn B.

Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây không đúng?

A. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp.

B. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.

C. Hai mặt ACC'A' và BDD'B' vuông góc nhau.

D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SBC) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC). Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Đáy là đa giác đều.

B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

C. Các cạnh bên là những đường cao.

D. Các mặt bên là những hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\{\begin{array}{l}\left(SBC\right)\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\\ \left(SAC\right)\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\\ SC=\left(SBC\right)\cap \left(SAC\right)\end{array}\Rightarrow SC\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$.

Do đó câu A và B đúng

C Sai. vì nếu $A^{\prime }\in SB$ thì hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) phải vuông góc với nhau theo giao tuyến SB

D. Ta có: $\{\begin{array}{l}SC\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\\ SC\subset \left(SAC\right)\end{array}\Rightarrow \left(SAC\right)\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ theo giao tuyến AC

Mà BK là đường cao của $\mathrm{\Delta }ABC$ $\Rightarrow BK\mathrm{\perp }AC\Rightarrow BK\mathrm{\perp }\left(SAC\right)$. Vậy D đúng

Vậy chọn đáp án D.

{-- Để xem nội dung đầu đủ tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và các bài toán liên quan. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt!