Các dạng toán về Tập hợp các số hữu tỉ Toán 7

CÁC DẠNG TOÁN VỀ TẬP HỢP CÁC SỐ HỮU TỈ

• Các phân số bằng nhau là cách viết khác nhau của cùng một số, số đó được gọi là số hữu tỉ.

• Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số a/b với a, b ∈ Z và b ≠ 0

• Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q (x là số hữu tỉ thì ghi là x ∈ Q)

Ví dụ 1:

Ta có thể viết

Ví dụ 2:

Các số hữu tỉ ví dụ như:

Ví dụ:

Các số hữu tỉ ví dụ như: \(3; - 0;5;3\frac{1}{2};\frac{4}{3};...\) thì kí hiệu như sau: 

Để biểu diễn số hữu tỉ a/b (a,b ∈ Z; b > 0) trên trục số ta làm như sau:

• Chia đoạn đơn vị [0;1] trên trục số thành b phần bằng nhau, mỗi phần là 1/b được gọi là đơn vị mới .

• Nếu a > 0 thì phân số a/b được biểu diễn bằng một điểm nằm bên phải điểm O và cách điểm O một đoạn bằng a lần đơn vị mới .

• Nếu a < 0 thì phân số a/b được biểu diễn bằng một điểm nằm bên trái điểm O và cách điểm O một đoạn bằng |a| lần đơn vị mới .

Để so sánh hai số hữu tỉ x, y ta thường làm như sau:

• Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương

• So sánh hai số nguyên a và b

+ Nếu a < b thì x < y

+ Nếu a = b thì x = y

+ Nếu a > b thì x > y

• Trên trục số nếu x < y thì điểm x nằm bên trái điểm y

• Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương.

• Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọc là số hữu tỉ âm.

• Số 0 không phải là số hữu tỉ dương cũng không phải là số hữu tỉ âm.

Nhận xét:

+ Số hữu tỉ a/b là số hữu tỉ dương (a/b > 0) thì a, b cùng dấu.

+ Số hữu tỉ a/b là số hữu tỉ âm (a/b < 0) thì a, b trái dấu.

+ Ta có:

Ví dụ: So sánh hai số hữu tỉ

Ta có:

Phương pháp giải:

Cần nắm vững ý nghĩa của từng kí hiệu:

– Kí hiệu ∈ đọc là “phần tử của” hoặc “thuộc”

– Kí hiệu ∉ đọc là “không phải phần tử của” hoặc “không thuộc”

– Kí hiệu ⊂ đọc là “tập hợp con của”

– Kí hiệu N chỉ tập hợp các số tự nhiên

– Kí hiệu Z chỉ tập hợp các số nguyên

– Kí hiệu Q chỉ tập hợp các số hữu tỉ

Ví dụ 1. 

Điền kí hiệu (∈, ∉, ⊂) thích hợp vào ô vuông:

– 3 …. N;	– 3 …. Z;	– 3 …. Q
– 2/3 …. Z;	– 2/3 …. Q;	N …. Z …. Q

Giải

– 3 ∉ N;	– 3 ∈ Z;	– 3 ∈ Q
– 3 ∉ N;	– 2/3 ∈ Q;	N ⊂ Z ⊂ Q

Phương pháp giải

– Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản

– Khi biểu diễn số hữu tỉ trên trục số, ta thường viết số đó dưới dạng phân số tối giản có mẫu dương. Khi đó mẫu của phân số cho biết đoạn thẳng đơn vị cần được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau

Ví dụ 2. 

a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ 3/4?

\(\frac{{ - 12}}{{15}};\frac{{ - 15}}{{20}};\frac{{24}}{{ - 32}};\frac{{ - 20}}{{28}};\frac{{ - 27}}{{36}}\)

b) Biểu diễn số hữu tỉ 3/4 trên trục số

Giải

a) Ta có 3/- 4 = – 3/4 . Rút gọn các phân số ta được:

Vậy các phân số hữu tỉ 3/-4 trên trục số là: -15/20 ; 24/-32 và -27/36.

b) Biểu diễn số hữu tỉ 3/-4 trên trục số: Ta viết 3/-4 = -3/4 và biểu diễn trên trục số như sau:.

Phương pháp giải

– Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng một mẫu dương;

– So sánh các tử, phân số nào có tử nhở hơn thì phân số đó nhỏ hơn

– Có thể sử dụng tính chất sau để so sánh: Nếu a, b, c ∈ Z và a < b thì a + c < b + c

Ví dụ 3.

So sánh các số hữu tỉ:

a) x = 2/-7 và y = -3/11;

b) x = – 213/300 và y = 18/-25;

c) x = -0.75 và y = -3/4.

Giải 

-22 < -21 và 77 > 0 nên -22/77 < -21/77 hay 2/-7 < -3/11 (x < y)

Ta có -213/300 > -216/300 hay -213/300 > 18/-25 (x > y)

c) x = -0,75 = -75/100 = -3/4. Vậy -0,75 = -3/4 (x = y)

Ví dụ 4.

So sánh số hữu tỉ a / b (a,b ∈ Z, b ≠ 0) với số 0 khi a, b cùng dấu và khi a,b khác dấu

Giải

Nhờ tính chất cơ bản cảu phân số, ta luôn có thể viết một phân số có mẫu âm thành một phân số bằng nó và có mẫu dương. Vì vậy, ta chỉ cần xét số hữu tỉ a/b (a,b  ∈ Z, b > 0)

Nếu a ,b cùng dấu thì ta có a > 0. Do đó a/b > 0/b hay a/b >0

Nếu a, b khác dấu thì ta có a < 0. Do đó a/b < 0/b hay a/b <0

Ví dụ 5.

Giả sử x = a/m, y = b/m (a,b,m ∈ Z, m>0) và x < y). Chứng minh rằng m nếu chọn z = (a+b)/2m thì ta có x < z< y

Giải

Theo đề bài x = a/m , y = b/m (a, b, m ∈ Z, m > 0). Vì x < y nên a < b

Ta có:

a < b nên a + a < a + b hay 2a < a + b       (1)

a < b nên a + b < b + b hay a + b < 2b       (2)

Từ (1 ) và (2) ta có: 2a < a + b < 2b. Suy ra:

* Bài tập tự luyện

Bài 1: Biểu diễn các số hữu tỉ \(\displaystyle{3 \over { - 4}};\displaystyle{5 \over 3}\) trên trục số.

Bài 2: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?

a) Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số hữu tỉ dương.

b) Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số tự nhiên.

c) Số \(0\) là số hữu tỉ dương

d) Số nguyên âm không phải là số hữu tỉ âm.

e) Tập hợp \(\mathbb Q\) gồm các số hữu tỉ dương và các số hữu tỉ âm.

Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu \(\displaystyle {a \over b} < {c \over d}\;\;(b > 0,d > 0)\) thì \(\displaystyle {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\) 

Bài 4: Tìm \(x ∈\mathbb Q\), biết rằng \(x\) là số âm lớn nhất được viết bằng ba chữ số \(1\).

Bài 5: So sánh các số hữu tỉ sau bằng cách nhanh nhất:

a) \(\displaystyle{\rm{}}{{ - 1} \over 5} \) và \(\displaystyle {1 \over {1000}}\)

b) \(\displaystyle {{267} \over { - 268}} \) và \(\displaystyle {{ - 1347} \over {1343}}\) 

c) \(\displaystyle {{ - 13} \over {38}} \) và \(\displaystyle {{29} \over { - 88}}\)

Trên đây là nội dung tài liệu Các dạng toán về Tập hợp các số hữu tỉ Toán 7. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.