Bồi dưỡng HSG Chuyên đề Dạng toán chứng minh chia hết Toán 7

CHUYÊN ĐỀ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH CHIA HẾT

* Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

–   Dấu hiệu chia hết cho 2: khi và chỉ khi số đó là số chẵn (tận cùng là 0, 2, 4, 6)

–   Dấu hiệu chia hết cho 3: khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3

–   Dấu hiệu chia hết cho 5: khi và chỉ khi số đó có tận cùng là 0 hoặc 5

–   Dấu hiệu chia hết cho 9: khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9

* Chữ số tận cùng của 2ⁿ, 3ⁿ ,4ⁿ, 5ⁿ ,6ⁿ, 7ⁿ, 8ⁿ, 9ⁿ

* Tính chất chia hết của một tổng

–   Hai số cùng chia hết cho một số thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho số đó:

A፧m và B፧m => A± B ፧m

–  Tính chất bắc cầu: A፧B, B፧C => A፧C

–  Tính chất số mũ: A፧m thì A², A³,… ፧m

–  Nếu A chia hết cho 2 số m, n, trong đó m, n là các số nguyên tố cùng nhau thì A chia hết cho tích của m và N

 A፧ m, A፧n, (m,n)=1 thì A፧ m.n

2. Bài tập vận dụng

Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì: \({3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n}\) chia hết cho 10

Hướng dẫn

ta có \({{3}^{n+2}}-{{2}^{n+2}}+{{3}^{n}}-{{2}^{n}}$= ${{3}^{n+2}}+{{3}^{n}}-{{2}^{n+2}}-{{2}^{n}}\) 

= \({{3}^{n}}({{3}^{2}}+1)-{{2}^{n}}({{2}^{2}}+1)\)

= \({{3}^{n}}\cdot 10-{{2}^{n}}\cdot 5={{3}^{n}}\cdot 10-{{2}^{n-1}}\cdot 10\)

= 10( 3ⁿ -2ⁿ)

Vậy \({{3}^{n+2}}-{{2}^{n+2}}+{{3}^{n}}-{{2}^{n}}\) \(\vdots \) 10 với mọi n là số nguyên dương.

Bài 2: Chứng tỏ rằng:

A = 75. (4²⁰⁰⁴ + 4²⁰⁰³ + . . . . . + 4² + 4 + 1) + 25  là số chia hết cho 100

Hướng dẫn

A = 75. (4²⁰⁰⁴ + 4²⁰⁰³ + . . . . . + 4² + 4 + 1) + 25 = 75.( 4²⁰⁰⁵ – 1) : 3 + 25

= 25( 4²⁰⁰⁵ – 1 + 1) = 25. 4²⁰⁰⁵  chia hết cho 100

Bài 3 : Cho m, n \(\in \) N^* và  p là số nguyên tố thoả mãn: \(\frac{p}{m-1}\) = \(\frac{m+n}{p}\) (1)

Chứng minh rằng : p² = n + 2

Hướng dẫn

+ Nếu m + n chia hết cho p \(\Rightarrow p\vdots (m-1)\) do p là số nguyên tố và m, n \(\in\) N^*

 \(\Rightarrow \) m = 2 hoặc m = p +1  khi đó từ (1) ta có p² = n + 2

+ Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) \(\Rightarrow \) (m + n)(m – 1) = p²

Do p là số nguyên tố và m, n \(\in \) N^*  \(\Rightarrow \) m – 1 = p² và m + n =1

\(\Leftrightarrow \) m = p² +1 và n = - p² < 0 (loại)

Vậy p² = n + 2

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG Chuyên đề Dạng toán chứng minh chia hết Toán 7. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.