Bồi dưỡng HSG Chuyên đề Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Toán 7

CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

*  a²  + 2.ab + b²  = ( a + b)² \(\ge \) 0 với mọi a,b

* a² – 2 .ab + b² = ( a – b)²  \(\ge\) 0 với mọi a,b

*A²ⁿ \(\ge \) 0 với mọi A, - A²ⁿ \(\le \) 0  với mọi A

* \(\left| A \right|\ge 0,\forall A\) , \(-\left| A \right|\le 0,\forall A\)

* \(\left| A \right|+\left| B \right|\ge \left| A+B \right|,\forall A,B\) dấu “ = ” xẩy ra khi A.B \(\ge \) 0

* \(\left| A \right|-\left| B \right|\le \left| A-B \right|,\forall A,B\) dấu “ = ” xẩy ra khi A,B \(\ge \) 0

* Dạng vận dụng đẳng thức : a²  + 2.ab + b²  = ( a + b)² \(\ge \) 0 với mọi a,b

Và  a² – 2 .ab + b² = ( a – b)²  \(\ge \) 0 với mọi a,b

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

a) P(x) = 2x² – 4x + 2012

b) Q(x) = x² + 100x – 1000

Hướng dẫn

a) P(x) = 2x² – 4x + 2012 = 2(x² – 2.x. + 1² ) + 2010 = 2( x – 1)² + 2010

Do ( x - 1)² \(\ge \) 0 với mọi x , nên P(x) \(\ge \) 2010 . Vậy Min P(x) = 2010

khi ( x - 1)² = 0 hay x = 1

b) Q(x) = x² + 100x – 1000 = ( x + 50)² – 3500 \(\ge \) - 3500 với mọi x

Vậy Min Q(x) = -3500

Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x² + bx +c ( a > 0)

P(x) = a x² + bx +c = a( x² + 2.x.\(\frac{b}{{2a}}\) + \({(\frac{b}{{2a}})^2}\)) + ( c - \(\frac{{{b^2}}}{{4a}}\))

= a(\(x + \frac{b}{{2a}}{)^2} + (\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}) \ge \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}},\forall x\)  Vậy Min P(x) = \(\frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}\) khi x = \( - \frac{b}{{2a}}\) 

Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = - a² + 3a + 4

b) B = 2 x – x²  

Hướng dẫn

a) A =  - a² + 3a + 4 = \(-({{a}^{2}}-2.a.\frac{3}{2}+{{(\frac{3}{2})}^{2}})+(4+\frac{9}{4})=-{{(a-\frac{3}{2})}^{2}}+\frac{25}{4}\)  

Do \(-(a-\frac{3}{2})\le 0,\forall a\) nên A \(\le \frac{25}{4},\forall a\). Vậy Max A = \(\frac{25}{4}\) khi a = \(\frac{3}{2}\)

b) B = \(2x-{{x}^{2}}=-({{x}^{2}}-2.x.1+{{1}^{2}})+1=-{{(x-1)}^{2}}+1\). Do \(-(x-1)\le 0,\forall x\Rightarrow B\le 1,\forall x\) 

Vậy Max B = 1 khi x = 1

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG Chuyên đề Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Toán 7. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.