Bồi dưỡng HSG chuyên đề Đồng dư Toán 8

BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DƯ

Nếu hai số nguyên a và b có cùng số dư trong phép chia cho một số tự nhiên m $\ne$ 0 thì ta nói a đồng dư với b theo môđun m, và có đồng dư thức: a $\equiv$ b (mod m)

Ví dụ:7 $\equiv$ 10 (mod 3) , 12 $\equiv$ 22 (mod 10)

+ Chú ý: a $\equiv$ b (mod m) $\iff$ a – b $⋮$ m

-  Tính chất phản xạ: a  $\equiv$ a (mod m)

-  Tính chất đỗi xứng: a $\equiv$ b (mod m) $\Rightarrow$ b $\equiv$ a (mod m)

-  Tính chất bắc cầu: a $\equiv$ b (mod m), b $\equiv$ c (mod m) thì a $\equiv$ c (mod m)

-  Cộng , trừ từng vế: $\{\begin{array}{l}\mathrm{a}\equiv \mathrm{b}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{m})\\ \mathrm{c}\equiv \mathrm{d}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{m})\end{array}\Rightarrow \mathrm{a}\pm \mathrm{c}\equiv \mathrm{b}\pm \mathrm{d}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{m})$ 

Hệ quả:

• a $\equiv$ b (mod m) $\Rightarrow$ a  + c $\equiv$ b + c (mod m)
• a + b $\equiv$ c (mod m) $\Rightarrow$ a $\equiv$ c - b (mod m)
• a $\equiv$ b (mod m) $\Rightarrow$ a + km $\equiv$ b (mod m)

-  Nhân từng vế : $\{\begin{array}{l}\mathrm{a}\equiv \mathrm{b}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{m})\\ \mathrm{c}\equiv \mathrm{d}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{m})\end{array}\Rightarrow \mathrm{a}\mathrm{c}\equiv \mathrm{b}\mathrm{d}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{m})$

Hệ quả:

• a $\equiv$ b (mod m) $\Rightarrow$ ac $\equiv$ bc  (mod m) (c $\in$ Z)
• a $\equiv$ b (mod m) $\Rightarrow$ aⁿ $\equiv$ bⁿ (mod m)

-  Có thể nhân (chia) hai vế và môđun của một đồng dư thức với một số nguyên dương

    a $\equiv$ b (mod m) $\iff$ ac $\equiv$ bc (mod mc)

Chẳng hạn: 11 $\equiv$ 3 (mod 4)  $\iff$ 22 $\equiv$ 6 (mod 8)

-  $\{\begin{array}{l}\mathrm{a}\mathrm{c}\equiv \mathrm{b}\mathrm{c}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{m})\\ (\mathrm{c},\mathrm{m})=1\end{array}\Rightarrow \mathrm{a}\equiv \mathrm{b}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{m})$ 

Chẳng hạn : $\{\begin{array}{l}16\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)\\ (2,7)=1\end{array}\Rightarrow 8\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$

Ví dụ 1:

Tìm số dư khi chia 92⁹⁴ cho 15

Giải

Ta thấy  92 $\equiv$ 2 (mod 15) => 92⁹⁴ $\equiv$ 2⁹⁴ (mod 15) (1)

Lại có 2⁴ $\equiv$ 1 (mod 15) =>(2⁴)²³. 2² $\equiv$ 4 (mod 15) hay 2⁹⁴ $\equiv$ 4 (mod 15) (2)

Từ (1) và (2) suy ra  92⁹⁴ $\equiv$ 4 (mod 15) tức là 92⁹⁴ chia 15 thì dư 4

Ví dụ 2:

Chứng minh: trong các số có dạng 2ⁿ – 4(n $\in$ N), có vô số số chia hết cho 5

Giải

Thật vậy:

Từ 2⁴ $\equiv$ 1 (mod 5) =>2^4k $\equiv$ 1 (mod 5) (1)

Lại có 2² $\equiv$ 4 (mod 5) (2)

Nhân (1) với (2), vế theo vế ta có: 2^{4k + 2} $\equiv$ 4 (mod 5) =>2^{4k + 2}  - 4 $\equiv$ 0 (mod 5)

Hay 2^{4k + 2}  - 4 chia hết cho 5 với mọi k = 0, 1, 2, ... hay ta được vô số số dạng 2ⁿ – 4

(n $\in$ N) chia hết cho 5

Chú ý: khi giải các bài toán về đồng dư, ta thường quan tâm đến a $\equiv$ $\pm$ 1 (mod m)

a $\equiv$ 1 (mod m) => aⁿ $\equiv$ 1 (mod m)

a $\equiv$ -1 (mod m) => aⁿ $\equiv$ (-1)ⁿ  (mod m)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng

a) 20¹⁵ – 1 chia hết cho 11                    

b) 2³⁰ + 3³⁰ chi hết cho 13

c) 555²²² + 222⁵⁵⁵ chia hết cho 7

Giải

a) 2⁵ $\equiv$ - 1 (mod 11) (1); 10 $\equiv$ - 1 (mod 11) =>10⁵ $\equiv$ - 1 (mod 11) (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2⁵. 10⁵ $\equiv$ 1 (mod 11) => 20⁵ $\equiv$ 1 (mod 11) => 20⁵ – 1 $\equiv$ 0 (mod 11)

b) 2⁶ $\equiv$ - 1 (mod 13) =>  2³⁰ $\equiv$ - 1 (mod 13) (3)

3³ $\equiv$ 1 (mod 13)  =>  3³⁰ $\equiv$  1 (mod 13) (4)

Từ (3) và (4) suy ra 2³⁰ + 3³⁰ $\equiv$ - 1 + 1 (mod 13) $\Rightarrow$ 2³⁰ + 3³⁰ $\equiv$ 0 (mod 13)

Vậy: 2³⁰ + 3³⁰ chi hết cho 13

c) 555 $\equiv$ 2 (mod 7) => 555²²² $\equiv$ 2²²² (mod 7) (5)

2³ $\equiv$ 1 (mod 7) => (2³)⁷⁴ $\equiv$ 1 (mod 7) => 555²²² $\equiv$ 1 (mod 7) (6)

222 $\equiv$ - 2 (mod 7) => 222⁵⁵⁵ $\equiv$ (-2)⁵⁵⁵ (mod 7)

Lại có (-2)³ $\equiv$ - 1 (mod 7) => [(-2)³]¹⁸⁵ $\equiv$ - 1 (mod 7) => 222⁵⁵⁵ $\equiv$ - 1 (mod 7)

Ta suy ra 555²²² + 222⁵⁵⁵  $\equiv$ 1 - 1 (mod 7) hay 555²²² + 222⁵⁵⁵ chia hết cho 7

Ví dụ 4:  Chứng minh rằng số ${\text{2}}^{{\text{2}}^{\text{4n + 1}}}$ + 7 chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n

Thật vậy:Ta có: 2⁵ $\equiv$- 1 (mod 11) => 2¹⁰ $\equiv$  1 (mod 11)

Xét số dư khi chia 2^{4n + 1} cho 10. Ta có: 2⁴ $\equiv$ 1 (mod 5) => 2⁴ⁿ $\equiv$ 1 (mod 5)

=> 2.2⁴ⁿ $\equiv$ 2 (mod 10) => 2^{4n + 1} $\equiv$ 2 (mod 10) => 2^{4n + 1} = 10 k + 2

Nên ${\text{2}}^{{\text{2}}^{\text{4n + 1}}}$ + 7 = 2^{10k + 2} + 7 =4. 2^10k + 7 = 4.(BS 11 + 1)^k + 7 = 4.(BS 11 + 1^k) + 7

= BS 11 + 11 chia hết cho 11

Ví dụ 5: Tìm số dư trong phép chia: (1997¹⁹⁹⁸ + 1998¹⁹⁹⁹ +1999²⁰⁰⁰ )¹⁰ chia cho 111

Giải:

Ta có: 1998  ≡ 0 (mod 111)

=> 1997  ≡ -1 (mod 111) và 1999  ≡ 1 (mod 111)

Nên ta có: 1997¹⁹⁹⁸ + 1998¹⁹⁹⁹ +1999²⁰⁰⁰  ≡ 2 (mod 111)

(1997¹⁹⁹⁸ + 1998¹⁹⁹⁹ +1999²⁰⁰⁰ )¹⁰   ≡ 2¹⁰ (mod 111)

Mặt khác ta có: 2¹⁰ = 1024  ≡ 25 (mod 111)

Vậy (1997¹⁹⁹⁸ + 1998¹⁹⁹⁹ +1999²⁰⁰⁰ )¹⁰ chia cho 111 có số dư là 25

Bài 1: CMR:

a) 2²⁸ – 1 chia hết cho 29

b)Trong các số có dạng2ⁿ – 3 có vô số số chia hết cho 13

Bài 2:  Tìm số dư khi chia A =  20¹¹ + 22¹² + 1996²⁰⁰⁹ cho 7.

Bài 3: Chứng minh: 3¹⁰⁰ – 3 chia hết cho 13

Bài 4: Chứng minh 6^{2n + 1} + 5^{n + 2} chia hết cho 31 với  mọi n là số tự nhiên

Bài 5: Tìm 2 chữ số tận cùng của 2009²⁰¹⁰

Bài 6 : Tìm số dư khi chia A = 1944²⁰⁰⁵ cho 7

Bài 7 : Chứng minh rằng các số A = 6¹⁰⁰⁰ - 1 và B = 6¹⁰⁰¹ + 1 đều là bội số của 7

Bài 8 : Tìm số dư trong phép chia 1532⁵ - 1 cho 9

Bài 9 : Chứng minh rằng A = 7.5²ⁿ + 12.6ⁿ chia hết cho 19

Bài 10: Bạn Thắng học sinh lớp 6A đã viết một số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14. Bạn Thắng đem số đó chia cho 8 thì được số dư là 4, nhưng khi chia cho 12 thì được số dư là 3.

a)Chứng minh rằng bạn Thắng đã làm sai ít nhất một phép tính chia.

b)Nếu phép chia thứ nhất cho 8 là đúng thì phép chia thứ hai cho 12 có số dư là bao nhiêu ? Hãy Tìm số bị chia.

Trên đây là nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG chuyên đề Đồng dư Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.