Bồi dưỡng HSG chuyên đề Đồng dư Toán 8

BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DƯ

I. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

Nếu hai số nguyên a và b có cùng số dư trong phép chia cho một số tự nhiên m \(\ne\) 0 thì ta nói a đồng dư với b theo môđun m, và có đồng dư thức: a \(\equiv\) b (mod m)

Ví dụ:7 \(\equiv\) 10 (mod 3) , 12 \(\equiv\) 22 (mod 10)

+ Chú ý: a \(\equiv\) b (mod m) \(\Leftrightarrow \) a – b \(\vdots \) m

2.  Tính chất của đồng dư thức

-  Tính chất phản xạ: a  \(\equiv\) a (mod m)

-  Tính chất đỗi xứng: a \(\equiv\) b (mod m) \(\Rightarrow \) b \(\equiv\) a (mod m)

-  Tính chất bắc cầu: a \(\equiv\) b (mod m), b \(\equiv\) c (mod m) thì a \(\equiv\) c (mod m)

-  Cộng , trừ từng vế: \(\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{a }} \equiv {\rm{  b (mod m)}}\\
{\rm{c }} \equiv {\rm{  d (mod m)}}
\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{a }} \pm {\rm{ c }} \equiv {\rm{ b }} \pm {\rm{ d (mod m)}}\) 

Hệ quả:

  • a \(\equiv\) b (mod m) \(\Rightarrow \) a  + c \(\equiv\) b + c (mod m)
  • a + b \(\equiv\) c (mod m) \(\Rightarrow \) a \(\equiv\) c - b (mod m)
  • a \(\equiv\) b (mod m) \(\Rightarrow \) a + km \(\equiv\) b (mod m)

-  Nhân từng vế : \(\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{a }} \equiv {\rm{  b (mod m)}}\\
{\rm{c }} \equiv {\rm{  d (mod m)}}
\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ac }} \equiv {\rm{ bd (mod m)}}\)

Hệ quả:

  • a \(\equiv\) b (mod m) \(\Rightarrow\) ac \(\equiv\) bc  (mod m) (c \(\in \) Z)
  • a \(\equiv\) b (mod m) \(\Rightarrow \) an \(\equiv\) bn (mod m)

-  Có thể nhân (chia) hai vế và môđun của một đồng dư thức với một số nguyên dương

    a \(\equiv\) b (mod m) \(\Leftrightarrow \) ac \(\equiv\) bc (mod mc)

Chẳng hạn: 11 \(\equiv\) 3 (mod 4)  \(\Leftrightarrow \) 22 \(\equiv\) 6 (mod 8)

-  \(\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{ac }} \equiv {\rm{  bc (mod m)}}\\
{\rm{(c, m)  =  1 }}
\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{a }} \equiv {\rm{ b (mod m)}}\) 

Chẳng hạn : \(\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{16 }} \equiv {\rm{  2 (mod 7)}}\\
{\rm{(2, 7)  =  1 }}
\end{array} \right. \Rightarrow 8{\rm{ }} \equiv {\rm{ 1 (mod 7)}}\)

II.  Các ví dụ

Ví dụ 1:

Tìm số dư khi chia 9294 cho 15

Giải

Ta thấy  92 \(\equiv\) 2 (mod 15) => 9294 \(\equiv\) 294 (mod 15) (1)

Lại có 24 \(\equiv\) 1 (mod 15) =>(24)23. 22 \(\equiv\) 4 (mod 15) hay 294 \(\equiv\) 4 (mod 15) (2)

Từ (1) và (2) suy ra  9294 \(\equiv\) 4 (mod 15) tức là 9294 chia 15 thì dư 4

Ví dụ 2:

Chứng minh: trong các số có dạng 2n – 4(n \(\in \) N), có vô số số chia hết cho 5

Giải

Thật vậy:

Từ 24 \(\equiv\) 1 (mod 5) =>24k \(\equiv\) 1 (mod 5) (1)

Lại có 22 \(\equiv\) 4 (mod 5) (2)

Nhân (1) với (2), vế theo vế ta có: 24k + 2 \(\equiv\) 4 (mod 5) =>24k + 2  - 4 \(\equiv\) 0 (mod 5)

Hay 24k + 2  - 4 chia hết cho 5 với mọi k = 0, 1, 2, ... hay ta được vô số số dạng 2n – 4

(n \(\in \) N) chia hết cho 5

Chú ý: khi giải các bài toán về đồng dư, ta thường quan tâm đến a \(\equiv\) \(\pm \) 1 (mod m)

a \(\equiv\) 1 (mod m) => an \(\equiv\) 1 (mod m)

a \(\equiv\) -1 (mod m) => an \(\equiv\) (-1)n  (mod m)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng

a) 2015 – 1 chia hết cho 11                    

b) 230 + 330 chi hết cho 13

c) 555222 + 222555 chia hết cho 7

Giải

a) 25 \(\equiv\) - 1 (mod 11) (1); 10 \(\equiv\) - 1 (mod 11) =>105 \(\equiv\) - 1 (mod 11) (2)

Từ (1) và (2) suy ra 25. 105 \(\equiv\) 1 (mod 11) => 205 \(\equiv\) 1 (mod 11) => 205 – 1 \(\equiv\) 0 (mod 11)

b) 26 \(\equiv\) - 1 (mod 13) =>  230 \(\equiv\) - 1 (mod 13) (3)

33 \(\equiv\) 1 (mod 13)  =>  330 \(\equiv\)  1 (mod 13) (4)

Từ (3) và (4) suy ra 230 + 330 \(\equiv\) - 1 + 1 (mod 13) \(\Rightarrow \) 230 + 330 \(\equiv\) 0 (mod 13)

Vậy: 230 + 330 chi hết cho 13

c) 555 \(\equiv\) 2 (mod 7) => 555222 \(\equiv\) 2222 (mod 7) (5)

23 \(\equiv\) 1 (mod 7) => (23)74 \(\equiv\) 1 (mod 7) => 555222 \(\equiv\) 1 (mod 7) (6)

222 \(\equiv\) - 2 (mod 7) => 222555 \(\equiv\) (-2)555 (mod 7)

Lại có (-2)3 \(\equiv\) - 1 (mod 7) => [(-2)3]185 \(\equiv\) - 1 (mod 7) => 222555 \(\equiv\) - 1 (mod 7)

Ta suy ra 555222 + 222555  \(\equiv\) 1 - 1 (mod 7) hay 555222 + 222555 chia hết cho 7

Ví dụ 4:  Chứng minh rằng số \({{\text{2}}^{{{\text{2}}^{\text{4n + 1}}}}}\) + 7 chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n

Thật vậy:Ta có: 25 \(\equiv\)- 1 (mod 11) => 210 \(\equiv\)  1 (mod 11)

Xét số dư khi chia 24n + 1 cho 10. Ta có: 24 \(\equiv\) 1 (mod 5) => 24n \(\equiv\) 1 (mod 5)

=> 2.24n \(\equiv\) 2 (mod 10) => 24n + 1 \(\equiv\) 2 (mod 10) => 24n + 1 = 10 k + 2

Nên \({{\text{2}}^{{{\text{2}}^{\text{4n + 1}}}}}\) + 7 = 210k + 2 + 7 =4. 210k + 7 = 4.(BS 11 + 1)k + 7 = 4.(BS 11 + 1k) + 7

= BS 11 + 11 chia hết cho 11

Ví dụ 5: Tìm số dư trong phép chia: (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111

Giải:

Ta có: 1998  ≡ 0 (mod 111)

=> 1997  ≡ -1 (mod 111) và 1999  ≡ 1 (mod 111)

Nên ta có: 19971998 + 19981999 +19992000  ≡ 2 (mod 111)

(19971998 + 19981999 +19992000 )10   ≡ 210 (mod 111)

Mặt khác ta có: 210 = 1024  ≡ 25 (mod 111)

Vậy (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 có số dư là 25

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: CMR:

a) 228 – 1 chia hết cho 29

b)Trong các số có dạng2n – 3 có vô số số chia hết cho 13

Bài 2:  Tìm số dư khi chia A =  2011 + 2212 + 19962009 cho 7.

Bài 3: Chứng minh: 3100 – 3 chia hết cho 13

Bài 4: Chứng minh 62n + 1 + 5n + 2 chia hết cho 31 với  mọi n là số tự nhiên

Bài 5: Tìm 2 chữ số tận cùng của 20092010

Bài 6 : Tìm số dư khi chia A = 19442005 cho 7

Bài 7 : Chứng minh rằng các số A = 61000 - 1 và B = 61001 + 1 đều là bội số của 7

Bài 8 : Tìm số dư trong phép chia 15325 - 1 cho 9

Bài 9 : Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19

Bài 10: Bạn Thắng học sinh lớp 6A đã viết một số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14. Bạn Thắng đem số đó chia cho 8 thì được số dư là 4, nhưng khi chia cho 12 thì được số dư là 3.

a)Chứng minh rằng bạn Thắng đã làm sai ít nhất một phép tính chia.

b)Nếu phép chia thứ nhất cho 8 là đúng thì phép chia thứ hai cho 12 có số dư là bao nhiêu ? Hãy Tìm số bị chia.

Trên đây là nội dung tài liệu Bồi dưỡng HSG chuyên đề Đồng dư Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Ngoài ra các em có thể tham khảo thêm một số tư liệu cùng chuyên mục tại đây:

​Chúc các em học tập tốt!

Tham khảo thêm

Bình luận

Có Thể Bạn Quan Tâm ?