| TRƯỜNG THPT VÕ THỊ SÁU | ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút |
1. ĐỀ SỐ 1
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Giải bất phương trình: \({x^2} - 6x + 2 \ge 2(2 - x)\sqrt {2x - 1} .\)
b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^5} + x{y^4} = {y^{10}} + {y^6}\\ \sqrt {4x + 5} + \sqrt {{y^2} + 8} = 6 \end{array} \right.\)
Câu 2. (2,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - m = y(x + my)\\ {x^2} - y = xy \end{array} \right.\)
Câu 3. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(2;4) và các đường thẳng \({d_1}:2x - y - 2 = 0,\) \({d_2}:2x + y - 2 = 0\). Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I sao cho (C) cắt d1 tại A, B và cắt d2 tại C,D thỏa mãn \(A{B^2} + C{D^2} + 16 = 5AB.CD.\)
Câu 4. (2,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC có AB= c, BC=a , CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và \(\frac{{CM}}{{AL}} = \frac{3}{2}\sqrt {5 - 2\sqrt 5 } \).Tính \(\frac{b}{c}\) và cosA.
2. Cho a, b \(\in R\) thỏa mãn: \((2 + a)(1 + b) = \frac{9}{2}\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \sqrt {16 + {a^4}} + 4\sqrt {1 + {b^4}} \)
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho \(f\left( x \right) = {x^2} - ax + b\) với a,b \(\in Z\) thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên m, n, p đôi một phân biệt và \(1 \le m,n,p \le 9\) sao cho: \(\left| {f\left( m \right)} \right| = \left| {f\left( n \right)} \right| = \left| {f\left( p \right)} \right| = 7\). Tìm tất cả các bộ số (a;b).
Câu 6: (2,0 điểm) Giải phương trình \(2{\cos ^2}x({\tan ^2}x + \tan x) = \sin x + \cos x\).
Câu 7. (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 4 = 0\) tâm và điểm M(2;3). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua M, \(\Delta\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Câu 8. (2,0 điểm). Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {x^4} - 2x = {y^4} - y\\ {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^3} = 3 \end{array} \right.{\rm{ }}(x,y \in R)\)
Câu 9. (2,0 điểm). Cho các số a, b, c không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng : \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{a + c}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} + \frac{{9\sqrt {ab + bc + ca} }}{{a + b + c}} \ge 6\).
Câu 10. (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho \(A\left( {3;1} \right),B\left( { - 3;9} \right),C\left( {2; - 3} \right)\).
a) Gọi D là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {BC} \). Xác định tọa độ D.
b) Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt đoạn thẳng CD tại M sao cho tứ giác ABCM có diện tích bằng 24.
...
---(Nội dung đáp án của Đề số 1 vui lòng xem online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
2. ĐỀ SỐ 2
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Cho hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) và hàm số y = - x + m. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau.
b) Giải bất phương trình: \(\frac{1}{{\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} }} - \frac{1}{{2x - 4}} > 0\)
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có B(1;2). Đường thẳng \(\Delta\) là đường phân giác trong của góc A có phương trình 2x + y - 1 = 0; Khoảng cách từ C đến \(\Delta\) gấp 3 lần khoảng cách từ B đến \(\Delta\). Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi \(\alpha\) là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác. Chứng minh rằng \(\sin \alpha \le \frac{3}{5}\)
Câu 3 (3,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: \(\overrightarrow {BD} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AE} = \frac{1}{4}\overrightarrow {{\rm{AC}}} \). Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: \({b^2}\overrightarrow {IB} + {c^2}\overrightarrow {IC} - 2{a^2}\overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 \); Tìm điểm M sao cho biểu thức (\({b^2}M{B^2} + {c^2}M{C^2} - 2{a^2}M{A^2}\)) đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: \(1 + \left( {6x + 2} \right)\sqrt {2{x^2} - 1} = 2\left( {5{x^2} + 4x} \right)\)
b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Chứng minh rằng:
\(\frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} \le xyz\).
Câu 5 (3,0 điểm)
a) Cho \(\tan \frac{b}{2} = 4\tan \frac{a}{2}\). Chứng minh : \(\tan \frac{{b - a}}{2} = \frac{{3\sin a}}{{5 - 3\cos a}}\).
b) Chứng minh : \(\frac{1}{{\cos {{290}^0}}} + \frac{1}{{\sqrt 3 \sin {{250}^0}}} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
c) \({\sin ^8}x + {\cos ^8}x = \frac{1}{{64}}\cos 8x + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{{35}}{{64}}\).
Câu 6 (3,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) \({\sin ^6}x + 3{\sin ^2}x\cos x + {\cos ^6}x = 1\)
b) \(12\cos x + 5\sin x + \frac{5}{{12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0\).
c) \(\frac{{1 + co{\rm{t2}}x.\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} + 1 = 6(1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x)\)
Câu 7 (1,0 điểm) Tìm các giá trị \(\alpha\) để phương trình :
\((\cos \alpha + 3\sin \alpha - \sqrt 3 ){x^2} + (\sqrt 3 \cos \alpha - 3\sin \alpha - 2)x + \sin \alpha - \cos \alpha + \sqrt 3 = 0\) có nghiệm x =1.
Câu 8 (2,0 điểm)
a).Trong mặt phẳng 0xy ,cho vectơ \(\overrightarrow v \) =(-2;1), đường thẳng d có phương trình 2x –3y +3 =0 . Hãy xác định phương trình của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \).
b) Trong mặt phẳng 0xy , cho đường tròn ( C) có phương trình : \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\).Tìm ảnh của ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ \(\overrightarrow v \) =(-2;5).
...
---(Nội dung đáp án của Đề số 2 vui lòng xem online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
3. ĐỀ SỐ 3
Câu 1 (2 điểm)
a. Cho hàm số y = x2 +2mx - 3m và hàm số y = -2x + 3. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.
b. Giải bất phương trình: \(\sqrt { - {x^2} + 8x - 12} > 10 - 2x\)
Câu 2 (2 điểm)
a. Giải phương trình: \({\left( {4{x^3} - x + 3} \right)^3} - {x^3} = \frac{3}{2}\)
b. Giải phương trình: \(2{x^2} - 11x + 23 = 4\sqrt {x + 1} \)
Câu 3 (2 điểm)
a. Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm M(1;4). Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A (hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B (tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.
b. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\) và điểm A(1;-2). Đường thẳng \(\Delta\) qua A, \(\Delta\) cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
Câu 4 (3 điểm)
a. Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB2 + BC2 +CD2 + DA2 = AC2 + BD2.
b.Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: \(\frac{1}{{{h_a}^2}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\) (trong đó AB=c; AC=b; đường cao qua A là ha).
Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng: \(\frac{{2a}}{{b + c}} + \frac{{2b}}{{c + a}} + \frac{{2c}}{{a + b}} \ge 3 + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\)
Câu 6(2,0 điểm) Giải phương trình: \({\sin ^2}\left( {\frac{x}{2} + \frac{{7\pi }}{4}} \right){\tan ^2}(3\pi - x) - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2} = 0.\)
Câu 7(2,0 điểm) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + \frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = \frac{{16}}{3}\\ 2({x^2} + {y^2}) + \frac{1}{{{{(x + y)}^2}}} + \frac{1}{{{{(x - y)}^2}}} = \frac{{100}}{9} \end{array} \right.\)
Câu 8: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, phía bên ngoài của tam giác ABC dựng hai tam giác đều ABM và ACN. Tìm một phép dời hình biến đoạn thẳng MC thành đoạn BN .Từ đó suy ra MC=BN.
Câu 9:(2,0 điểm)
Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sin \left( {\pi \left| {\sin x} \right|} \right)\)
Câu 10: (2.0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng \(\frac{3}{2}\) với điểm A(2;-3), B(3;-2), trọng tâm của tam giác nằm trên đường thẳng (d): 3x- y - 8 = 0. Tìm tọa độ điểm C.
...
---(Nội dung đáp án của Đề số 3 vui lòng xem online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
4. ĐỀ SỐ 4
Câu 1.(4,0 điểm). Cho parabol (P): \(y = - {x^2}\) và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0;-1) và có hệ số góc là k. Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là x1; x2.
1) Tìm k để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.
2) Chứng minh rằng \(\left| {x_1^3 - x_2^3} \right| \ge 2\left( {\forall k \in R} \right)\)
Câu 2. (2,0 điểm) Giải phương trình: \(\sqrt {3x + 1} + \sqrt {5x + 4} = 3{x^2} - x + 3\)
Câu 3. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {x^3}y - x{y^2} + xy - y = 1\\ {x^4} + {y^2} - xy(2x - 1) = 1 \end{array} \right.\)
Câu 4. (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6), chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm \(D\left( {2; - \frac{3}{2}} \right)\), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm \(I\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\). Viết phương trình của đường thẳng BC.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a;CA = b;BA = c (b ≠ c) và diện tích là S. Kí hiệu ma; mb; mc lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. Biết rằng \(2m_a^2 \ge m_b^2 + m_c^2\).
a) Chứng minh rằng \({a^2} \le 4S.{\rm{cot}}A\)
b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng góc \(\angle MGO\) không nhọn.
Câu 6.(2,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn \(a + b + c = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = \frac{1}{{{a^2} + {b^2} + 3}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2} + 3}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2} + 3}}\).
Câu 6.(2.0 điểm) Giải phương trình \(\sqrt {\cos x} + co{s^2}x = 2{\sin ^2}\frac{x}{2} + sinx\)
Câu 7. (2,0 điểm) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} 2({x^3} - a{y^3}) = {(a + 1)^2}\\ {x^3} + a{x^2}y + x{y^2} = 1 \end{array} \right.\) có nghiệm và mọi nghiệm của nó thoả mãn x, y là hai số đối nhau.
Câu 8. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Đề các vuông góc Oxy cho tam giác ABC, biết B(-3; 0); C(3; 0). Điểm A di động sao cho tam giác ABC thoả mãn độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A tới BC bằng 3 lần bán kính đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng khi A thay đổi thì điểm I thuộc một đường cong cố định.
Câu 9. (2,0 điểm) Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của
T = cosA + cosB + cosC + \(\frac{4}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}}\)
...
---(Nội dung đáp án của Đề số 4 vui lòng xem online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
5. ĐỀ SỐ 5
Câu 1.(3.0 điểm)
1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {10 - x} }} - \frac{x}{{\sqrt {10 + x} }}\)
2) Cho các nửa khoảng A = (a;a+1], B = [b;b+2). Đặt \(C=A \cup B\). Với điều kiện nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó.
Câu 2. (2,0 điểm) Tìm m để phương trình \(\left| {{x^2} - 1} \right| = {m^4} - {m^2} + 1\) có bốn nghiệm phân biệt.
Câu 3. (2,0 điểm) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: \(\frac{{\left( {m - 1} \right)x + 2}}{{x - 2}} < m + 1\)
Câu 4.(2,0 điểm) Giải phương trình \({x^2} - 7x + 8 = 2\sqrt x .\)
Câu 5. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {7x + y} + \sqrt {2x + y} = 5\\ x - y + \sqrt {2x + y} = 1 \end{array} \right.\)
Câu 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và góc BAC = 60o. Các điểm M, N được xác định bởi \(\overrightarrow {MC} = - 2\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {NB} = - 2\overrightarrow {NA} \). Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau.
Câu 7. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B' và C'. Gọi Sa, Sb, Sc và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB'C', BC'A', CA'B' và ABC. Chứng minh bất đẳng thức \(\sqrt {{S_a}} + \sqrt {{S_b}} + \sqrt {{S_c}} \le \frac{3}{2}\sqrt S .\) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
Câu 8. (2,0 điểm) (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi). Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu 9. (2.0 điểm) Giải phương trình: \(\sin 4x + \cos \,4x = 4\sqrt 2 \sin \,(x + \frac{\pi }{4}) - 1\) (x \(\in\) R)
Câu 10. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.
Chứng minh rằng: \(\frac{{{a^3}}}{{{b^2} + 3}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2} + 3}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2} + 3}} \ge \frac{3}{4}\)
...
---(Nội dung đáp án của Đề số 5 vui lòng xem online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích dẫn nội dung Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán 11 năm 2021 có đáp án của Trường THPT Võ Thị Sáu. Để xem toàn bộ nội dung các em đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Chúc các em học tập tốt !
