1. Định nghĩa
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R). Nếu Ta có hàm số \(F\left( x \right)\) xác định trên K sao cho \(F'\left( x \right)=f\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên K.
Định lí 1. Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số \(G\left( x \right)=F\left( x \right)+C\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên K.
Định lí 2. Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên K thì mọi nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên K đều có dạng \(G\left( x \right)=F\left( x \right)+C\) với C là hằng số.
Định lí 3. Mọi hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất của nguyên hàm
\(\int{f'\left( x \right)dx=f\left( x \right)+C}\) với C là hằng số.
\(\int{kf\left( x \right)dx=k}\int{f\left( x \right)dx}\) với k là hằng số khác 0.
\(\int{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]f\left( x \right)dx=\int{f\left( x \right)dx\pm \int{g\left( x \right)dx}}}\)
Bảng nguyên hàm
Chú ý: công thức tính vi phân của \(f\left( x \right)\) là \(d\left[ f\left( x \right) \right]=f'\left( x \right)dx\)
|
| Với u là một hàm số |
| \(\int{0dx=C}\) | \(\int{0du=C}\) |
| \(\int{dx=x+C}\) | \(\int{du=u+C}\) |
| \(\int{{{x}^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{{x}^{\alpha +1}}+C\left( \alpha \ne -1 \right)}\) | \(\int{{{u}^{\alpha }}du=\frac{1}{\alpha +1}{{u}^{\alpha +1}}+C\left( \alpha \ne -1 \right)}\) |
| \(\int{\frac{1}{x}dx=\ln \left| x+C \right|}\) | \(\int{\frac{1}{u}du=\ln \left| u \right|}+C\) |
| \(\int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C}\) | \(\int{{{e}^{u}}du={{e}^{u}}+C}\) |
| \(\int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C}\) | \(\int{{{a}^{u}}dx=\frac{{{a}^{u}}}{\ln a}+C}\) |
| \(\int{\cos xdx=\sin x+C}\) | \(\int{\cos udu=\sin u+C}\) |
| \(\int{\sin xdx}=-\cos x+C\) | \(\int{\sin udu}=-\operatorname{cosu}+C\) |
| \(\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\tan x}+C\) | \(\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}u}du=\tan u}+C\) |
| \(\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx=-\cot x+C}\) | \(\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}u}du=-\cot u+C}\) |
3. Bài tập vận dụng
Bài 1: Biết \(\int{{{\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)}^{5}}.\sin 4xdx}=-\frac{{{\cos }^{7}}2x}{a}+C\). Với a là số nguyên. Tìm a?
A. a=6.
B. a=12.
C. a=7.
D. a=14.
Giải:
Đặt \(f\left( x \right)=\int{{{\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)}^{5}}.\sin 4xdx}\), Ta có:
\(\begin{align} & f\left( x \right)=\int{{{\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)}^{5}}.\sin 4xdx}=\int{{{\left( \cos 2x \right)}^{5}}.2\sin 2x.\cos 2x} \\ & \text{ }=2\int{{{\cos }^{6}}2x.\sin 2xdx} \\ \end{align}\)
Đặt \(t=\cos 2x\Rightarrow dt=-2\sin 2xdx\)
Vậy \(F\left( x \right)=-\int{{{t}^{6}}dt=\frac{-{{t}^{7}}}{7}+C=-\frac{{{\cos }^{7}}2x}{7}}+C\)
Chọn C.
Bài 2: Biết \(\int{\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx=a\ln \left| \sin x-\cos x \right|+C}\). Với a là số nguyên. Tìm a?
A. a=1.
B. a=2.
C. a=3.
D. a=4.
Giải:
Vì \(\int{a{{\left[ \ln \left| \sin x-\cos x \right|+C \right]}^{\prime }}=\frac{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{\prime }}}{\sin x-\cos x}=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}}\) nên
Nguyên hàm của: \(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\) là: \(\ln \left| \sin x-\cos x \right|+C\).
Chọn A.
Bài 3: Tìm một nguyên hàm của: \(1+4.\frac{{{\tan }^{2}}\frac{x}{2}}{{{\left( {{\tan }^{2}}\frac{x}{2}-1 \right)}^{2}}}\) biết nguyên hàm này bằng 3 khi \(x=\frac{\pi }{4}\)
A. \(\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+3.\)
B. \(\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}+3.\)
C. \(\tan x+2\).
D. \(\cot x+2\).
Giải:
\(f\left( x \right)=1+4.\frac{{{\tan }^{2}}\frac{x}{2}}{{{\left( {{\tan }^{2}}\frac{x}{2}-1 \right)}^{2}}}=1+{{\left( \frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+{{\tan }^{2}}\frac{x}{2}} \right)}^{2}}=1+{{\tan }^{2}}x=\frac{1}{\cos _{2}^{{}}x}\)
Nguyên hàm của \(F\left( x \right)=\tan x+C\)
Ta có: \(F\left( \frac{\pi }{4} \right)=3\Rightarrow \tan \frac{\pi }{4}+C=3\Rightarrow C=2\Rightarrow F\left( x \right)=\tan x+2\)
Chọn C.
Bài 4: \(F\left( x \right)=x+\ln \left| 2\sin x-\cos x \right|\) là nguyên hàm của:
A. \(\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+3\cos x}\)
B. \(\frac{\sin x+2\cos x}{2\sin x-\cos x}\)
C. \(\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+3\cos x}\)
D. \(\frac{3\sin x+\cos x}{2\sin x-\cos x}\)
Giải:
Ta chỉ cần đạo hàm của F(x), rồi sau đó quan sát kết quả đúng.
Ta có: \(F'\left( x \right)=1+\frac{\left( 2\sin x-\cos x \right)'}{2\sin x-\cos x}=1+\frac{2\sin x+\cos x}{2\sin x-\cos x}=\frac{3\sin x+\cos x}{2\sin x-\cos x}\)
\(\Rightarrow F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(\frac{3\sin x+\cos x}{2\sin x-\cos x}\).
Chọn D.
Bài 5: Biết \(\int{\frac{1}{\left( 25{{x}^{2}}-20x+4 \right)}dx=-\frac{1}{a{{\left( 5x-2 \right)}^{5}}}+C}\). Với a là số nguyên. Tìm a?
A. a=4.
B. a=100.
C. a=5.
D. a=25.
Giải:
Chú ý nếu chúng ta biến đổi:
\(\int{\frac{1}{{{\left( 25{{x}^{2}}-20x+4 \right)}^{3}}}dx=\int{{{\left( 25{{x}^{2}}-20x+4 \right)}^{-3}}dx=\frac{{{\left( 25{{x}^{2}}-20x+4 \right)}^{-4}}}{-4}+C}}\). Là sai
Điều sau đây mới đúng: \(\int{{{\left( 25{{x}^{2}}-20x+4 \right)}^{-3}}d\left( 25{{x}^{2}}-20x+4 \right)=\frac{{{\left( 25{{x}^{2}}-20x+4 \right)}^{-4}}}{-4}+C}\)
Trở lại bài, ta sẽ biến đổi biểu thức \({{\left( 25{{x}^{2}}-20x+4 \right)}^{3}}\) về dạng \({{\left( ax+b \right)}^{n}}\) như sau:
\(\begin{align} & \int{\frac{1}{{{\left( 25{{x}^{2}}-20x+4 \right)}^{3}}}dx=\int{\frac{1}{{{\left( 5x-2 \right)}^{6}}}dx=\int{{{\left( 5x-2 \right)}^{-6}}dx}}} \\ & =\frac{1}{5}\frac{{{\left( 5x-2 \right)}^{-5}}}{-5}+C=-\frac{1}{25{{\left( 5x-2 \right)}^{5}}}+C \\ \end{align}\)
Chọn D.
Bài 6: Biết \(\int{\frac{1+x}{2{{x}^{2}}-5x-7}dx=\frac{a}{b}\ln \left| 2x-7 \right|+C}\), với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
A. S=4.
B. S=2.
C. S=3.
D. S=5.
Giải:
Ta quan sát mẫu có thể phân tích được thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2:
\(2{{x}^{2}}-5x-7=0\) thấy có hai nghiệm là: \(x=-1,x=\frac{7}{2}\).
Áp dụng công thức \(a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)$ với \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hai nghiệm ta có:
\(2{{x}^{2}}-5x-7=\left( x+1 \right)\left( 2x-7 \right)\)
Do đó:
\(\int{\frac{1+x}{2{{x}^{2}}-5x-7}dx=\int{\frac{x+1}{\left( x+1 \right)\left( 2x-7 \right)}dx}=\int{\frac{1}{2x+7}dx=\frac{1}{2}\ln \left| 2x-7 \right|}+C}\)
Chọn C.
Bài 7: Biết \(\int{{{\left( \sin 2x-\cos 2x \right)}^{2}}dx=x+\frac{a}{b}\cos 4x+C}\), với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
A. S=4.
B. S=2.
C. S=3.
D. S=5.
Giải:
Nếu áp dụng ngay: \(\int{{{t}^{n}}dt=\frac{{{t}^{n+1}}}{n+1}+C}\) thì ta có:
\(\int{{{\left( \sin 2x-\cos 2x \right)}^{2}}dx=\frac{{{\left( \sin 2x-\cos 2x \right)}^{3}}}{3}+C}\). Là sai.
Ta phải khai triển \({{\left( \sin 2x-\cos 2x \right)}^{2}}\) để xem thử
\(\int{{{\left( \sin 2x-\cos 2x \right)}^{2}}dx=\int{\left( 1-\sin 4x \right)dx=x\frac{1}{4}cos}}4x+C\)
Chọn D.
Bài 8: Biết \(\int{\frac{1}{1+\cos x}dx=a.tan\frac{x}{b}+C}\), với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
A. S=4.
B. S=2.
C. S=3.
D. S=5.
Giải:
Chưa áp dụng ngay được công thwucs nguyên hàm cơ bản, ta quan sát mẫu và thấy rằng có thể biến đổi \(1+\cos x=2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}\) dựa trên công thức hạ bậc: \({{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}\). Do đó:
\(\int{\frac{1}{1+\cos x}dx=\int{\frac{1}{2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}}dx=\tan \frac{x}{2}+C}}\).
Ta thấy rằng a=1,b=2 do đó S=3.
Chọn C.
Bài 9: Biết \(\int{\frac{1}{1+sin2x}dx=\frac{a}{b}\text{tan}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)+C}\), với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
A. S=4.
B. S=2.
C. S=3.
D. S=5.
Giải:
\(\int{\frac{1}{1+sin2x}dx=\int{\frac{1}{1+\cos \left( \frac{\pi }{2}-2x \right)}dx=\int{\frac{1}{2{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}-x \right)}dx=}}}\)
\(=-\frac{1}{2}\tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)+C=\frac{1}{2}\tan \left( x-\frac{\pi }{4} \right)+C\)
Ta thấy a=1,b=2 suy ra S=3
Chọn C.
Bài 10: Cho \(f\left( x \right)=8{{\sin }^{2}}\left( x+\frac{\pi }{12} \right)\). Một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của \(f\left( x \right)\) thỏa \(F\left( 0 \right)=8\) là:
A. \(4x+2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{6} \right)+9\)
B. \(4x-2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{6} \right)+9\).
C. \(4x+2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{6} \right)+7\).
D. \(4x-2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{6} \right)+7\).
Giải:
Ta cần phải tính \(\int{f\left( x \right)dx}=\int{8{{\sin }^{2}}\left( x+\frac{\pi }{12} \right)dx}\). Đầu tiên sử dụng công thức hạ bậc để đổi \(f\left( x \right)\) như sau:
\(f\left( x \right)=8{{\sin }^{2}}\left( x+\frac{\pi }{12} \right)=8\left( \frac{1-\cos \left( 2x+\frac{\pi }{6} \right)}{2} \right)\)
\(f\left( x \right)=4-4\cos \left( 2x+\frac{\pi }{6} \right)\Rightarrow F\left( x \right)=4x-2\sin \left( 2x+\frac{\pi }{6} \right)+C\)
\(f\left( 0 \right)=8\Leftrightarrow -2\sin \left( \frac{\pi }{6} \right)+C=8\Leftrightarrow C=9\)
Chọn B.
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Bài tập vận dụng cao về nguyên hàm. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
