Bài tập SGK Bài 2: Tích phân

Bài tập 1 trang 112 SGK Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a)${\int }_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(1-x{)}^2}dx$                    b) ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}sin(\frac{\pi }{4}-x)dx$

c)                        d) 

e)                        g) 

Bài tập 2 trang 112 SGK Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) ${\int }_0^2|1-x|dx$                               b) ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{2}xdx$

c)                        d) 

Bài tập 3 trang 113 SGK Giải tích 12

Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a) ${\int }_0^3\frac{x^2}{(1+x{)}^{\frac{3}{2}}}dx$      (Đặt u= x+1) 

b)        (Đặt x = sint )

c)     (Đặt u = 1+x.e^x)

d)    (Đặt x= asint)

Bài tập 4 trang 113 SGK Giải tích 12

Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

a)${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(x+1)sinxdx$   ;      b) 

c)      ;       d)

Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) ${\int }_0^1(1+3x{)}^{\frac{3}{2}}dx$;        

b) ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{x^3-1}{x^2-1}dx$;

c) .

Bài tập 6 trang 113 SGK Giải tích 12

Tính tích phân ${\int }_0^{1}x(1-x{)}^{5}dx$ bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số u = 1 - x;

b) Tính tích phân từng phần.

Bài tập 3.16 trang 170 SBT Toán 12

Bài tập 3.17 trang 170 SBT Toán 12

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}x{\left(1-x\right)}^{5}dx$ (đặt  t = 1−x)

b) $\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}\sqrt{e^x-1}dx$ (đặt $t=\sqrt{e^x-1}$)

c) $\underset{1}{\overset{9}{\int }}x\sqrt[3]{1-x}dx$ (đặt $t=\sqrt[3]{1-x}$)

d) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{x\sin x}{1+{\cos }^{2}x}dx$    (đặt $x=\pi -t$)

e) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^2{\left(1-x^3\right)}^{4}dx$

Bài tập 3.18 trang 171 SBT Toán 12

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\cos 2xdx$

b) $\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}x{e}^{-2x}dx$

c) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln (2x+1)dx$

d) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left[\ln \left(x-1\right)\right]-\ln \left(x+1\right)dx$

e) $\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\left(1+x-\frac{1}{x}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx$

g) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\cos x{\sin }^{2}xdx$

Bài tập 3.19 trang 171 SBT Toán 12

Tính các tích phân sau đây:

a) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(x+1\right)\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx$

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2+x+1}{x+1}{\log }_2\left(x+1\right)dx$

c) $\underset{\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-1}{x^4+1}dx$

d) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\sin 2xdx}{3+4\sin x-\cos 2x}$                                           

Bài tập 3.20 trang 172 SBT Toán 12

Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t}{\sqrt{1+t^4}}dt,x\in R$ là hàm số chẵn.

Bài tập 3.21 trang 172 SBT Toán 12

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a;a]. Chứng minh rằng

$\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=\{\begin{array}{l}2\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\\ 0\end{array}$

nếu $f$ chẵn hoặc $f$ lẻ.

Áp dụng để tính $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)dx$