Bài 8: Cộng, trừ đa thức một biến - Luyện tập

Để cộng hoặc trừ các đa thức một biến, ta có thể theo một trong hai cách sau:

• Cách 1: Tương tự như cộng trừ đa thức đã học ở §6.
• Cách 2: Sắp xếp chúng cùng theo luỹ vừa giảm (hoặc tăng) của biến và đặt phép tính như trường hợp cộng và trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở trong cùng một cột).

Ví dụ 1:

Cho các đa thức:

\(\begin{array}{l}f(x) = 3{x^2} - 7 + 5x - 6{x^2} - 4{x^3} + 8 - 5{x^5} - {x^3}\\g(x) =  - {x^4} + 2x - 1 + 2{x^4} + 3{x^3} + 2 - x\end{array}\)

a. Thu gọn các đa thức trên rồi sắp xếp chúng theo luỹ thừa giảm của biến.

b. Xác định bậc của mỗi đa thức.

c. Cho biết hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức.

d. Tính f(x) + g(x) và f(x) - g(x).

Hướng dẫn giải:

a. \(\begin{array}{l}f(x) =  - 5{x^5} - 5{x^3} - 3x{}^2 + 5x + 1\\g(x) = {x^4} + 3{x^3} + x + 1\end{array}\).

b. Đa thức f(x) có bậc 5, đa thức g(x) có bậc 4.

c. Đa thức f(x) có hệ số cao nhất là -5, hệ số tự do là 1

Đa thức g(x) có hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do là 1.

d.

\(\frac{\begin{array}{l}f(x) =  - 5{x^5}\,\,\, - 5{x^3} - 3x{}^2 + 5x + 1\\g(x) = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} + 3{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + x + 1\end{array}}{{f(x) + g(x) =  - 5{x^5} + {x^4} - 2{x^3}\, - 3x{}^2 + 6x + 2}}\)

\(\frac{\begin{array}{l}f(x) =  - 5{x^5}\,\,\, - 5{x^3} - 3x{}^2 + 5x + 1\\ - \\g(x) = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^4} + 3{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + x + 1\end{array}}{{f(x) - g(x) =  - 5{x^5} - {x^4} - 8{x^3}\, - 3x{}^2 + 4}}\).

Ví dụ 2:

Tìm đa thức h(x) sao cho f(x) – h(x) = g(x) biết:

a. \(f(x) = {x^2} + x + 1\)

\(g(x) = 7{x^5} + {x^4} - 2{x^3} + 4\)

b. \(f(x) = {x^4} + 6{x^3} - 4{x^2} + 2x - 1\)

\(g(x) = x + 3\)

Hướng dẫn giải:

a. \(h(x) = f(x) - g(x) = {x^2} + x + 1 - 7{x^5} - {x^4} + 2{x^3} - 4 =  - 7{x^5} - {x^4} + 2{x^3} + {x^2} + x - 3\).

b. \(h(x) = {x^4} + 6{x^3} - 4{x^2} + 2x - 1 - x - 3 = {x^4} + 6{x^3} - 4{x^2} + x - 4\).

Ví dụ 3:

Tính hiệu f(x) – g(x) biết:

a. \(f(x) = {x^5} - 4{x^4} - 2{x^2} - 7\)

\(g(x) =  - 2{x^5} + 6{x^4} - 2x{{\kern 1pt} ^2} + 6\).

b. \(f(x) = 5{x^4} + 7{x^3} - 6{x^2} + 3x - 7\)

\(g(x) =  - 4{x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 5\).

Hướng dẫn giải:

a. \(\begin{array}{l}f(x) - g(x) = ({x^5} - 4{x^4} - 2{x^2} - 7) - ( - 2{x^5} + 6{x^4} - 2{x^2} + 6)\\ = ({x^5} + 2{x^5}) + ( - 4{x^4} - 6{x^4}) + ( - 2{x^2} + 2{x^2}) + ( - 7 - 6)\\ = 3{x^5} - 10{x^4} - 13\end{array}\).

b. \(\begin{array}{l}f(x) + g(x) = (5{x^4} + 7{x^3} - 6{x^2} + 3x - 7) - ( - 4{x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} + 4x + 5)\\ = 5{x^4} + 7{x^3} - 6{x^2} + 3x - 7 + 4{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 4x - 5\\ = (5{x^4} + 4{x^4}) + (7{x^3} - 2{x^3}) + ( - 6{x^2} + 5{x^2}) + (3x - 4x) + ( - 7 - 5)\\ = 9{x^4} + 5{x^3} - {x^2} - x - 12\end{array}\).

Bài 1: 

Cho đa thức :

\(P(x) =  - 9{x^3} + 5{x^4} + 8{x^2} - 15{x^3} - 4{x^2} - {x^4} + 15 - 7{x^3}\)

Tính P(1), P(0), P(-1).

Hướng dẫn giải:

Trước hết ta thu gọn đa thức:

\(\begin{array}{l}P(x) =  - 9{x^3} + 5{x^4} + 8{x^2} - 15{x^3} - 4{x^2} - {x^4} + 15 - 7{x^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,( - 9{x^3} - 7{x^3} - 15{x^3}) + (5{x^4} - {x^4}) + (8{x^2} - 4{x^2}) + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, - 31{x^3} + 4{x^4} + 4{x^2} + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{x^4} - 31{x^3} + 4{x^2} + 15\end{array}\)

Nên ta có:

\(P(1) = {4.1^4} - {31.1^3} + {4.1^2} + 15 = 4 - 31 + 4 + 15 =  - 8\)

\(P(0) = 4.0 - 31.0 + 4.0 + 15 = 15\)

\(\begin{array}{l}P( - 1) = 4.{( - 1)^4} - 31.{( - 1)^3} + 4.{( - 1)^2} + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4.1 - 31.( - 1) + 4.1 + 15\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,4 + 31 + 4 + 15 = 54\end{array}\)

Bài 2: 

Cho đa thức: \(f(x) = 3{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 7x + 2\)

Hãy tìm đa thức g(x) là đa thức đối của đa thức f(x).

Hướng dẫn giải:

Đa thức g(x) là đa thức đối của đa thức f(x) nên ta có g(x) = -f(x). Do đó:

\(\begin{array}{l}g(x) =  - (3{x^4} - 2{x^3} + 5{x^2} - 7x + 2)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, - 3{x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} + 7x - 2\end{array}\)

Bài 3: 

Cho các đa thức:

\(\begin{array}{l}A =  - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6\\B = 3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4\end{array}\)

a. Tính C=A+B, D=A-B, E=C-D.

b. Tính giá trị của các đa thức A, B, C, D tại x= -1.

Hướng dẫn giải:

a.

\(\begin{array}{l}C = A + B\\\,\,\,\,\,\, = ( - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6) + (3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4)\\\,\,\,\,\, = ( - 3{x^3} + 3{x^3}) + (4{x^2} - 6{x^2}) + ( - 5x + 5x) + (6 - 4)\\\,\,\,\,\, =  - 2{x^2} + 2\\D = A - B\\\,\,\,\,\,\, = ( - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6) - (3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4)\\\,\,\,\,\, = ( - 3{x^3} - 3{x^3}) + (4{x^2} - 6{x^2}) + ( - 5x + 5x) + (6 + 4)\\\,\,\,\,\, =  - 6{x^3} + 10{x^2} - 10x + 10\end{array}\)

\(\begin{array}{l}E = C - D\\\,\,\,\,\, = \,( - 2{x^2} + 2) - ( - 6{x^3} + 10{x^2} - 10x + 10)\\\,\,\,\,\, =  - 2{x^2} + 2 + 6{x^3} - 10{x^2} + 10x - 10\\\,\,\,\,\, = \, - 12{x^2} - 8 + 6{x^3} + 10x\\\,\,\,\, = 6{x^3} - 12{x^2} + 10x - 8\end{array}\)

b. Tính giá trị của các đa thức tại x=-1

\(\begin{array}{l}A =  - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x + 6\\\,\,\,\,\, =  - 3.{( - 1)^3} + 4.{( - 1)^2} - 5.( - 1) + 6\\\,\,\,\,\, =  - 3.( - 1) + 4.1 - 5.( - 1) + 6\\\,\,\,\,\, = \,3 + 4 + 5 + 6 = 18\\B = 3{x^3} - 6{x^2} + 5x - 4\\\,\,\,\,\, = 3.{( - 1)^3} - 6.{( - 1)^2} + 5.( - 1) - 4\\\,\,\,\,\, = 3.\,( - 1) - 6.1 + 5.( - 1) - 4\\\,\,\,\,\, =  - 3 - 6 - 5 - 4 =  - 18\\C =  - 2.{( - 1)^2} + 2 =  - 2.1 + 2 = 0\\D =  - 6.{( - 1)^3} + 10.{( - 1)^2} - 10.( - 1) + 10\\\,\,\,\,\, =  - 6.( - 1) + 10.1 - 10.( - 1) + 10\\\,\,\,\,\, = 6 + 10 + 10 + 10 = 36\\E = 6.{( - 1)^3} - 12.{( - 1)^2} + 10.( - 1) - 8\\\,\,\,\, = 6.( - 1) - 12.1 + 10.( - 1) - 8\\\,\,\,\, =  - 6 - 12 - 10 - 8 =  - 36\end{array}\)

Chú ý: Ta có thể tính ngay giá trị của đa thức C,D,E khi biết các giá trị của đa thức A, B (khỏi phải thay x=-1 vào các đa thức C, D,E) như sau:

Cùng tại x=-1 ta có A=18,B=-18.

Nên C=A+B=18+(-18)=0.

D=A-N=18-(-18)=36.

E=C-D=0-36=-36.

Qua bài giảng Cộng, trừ đa thức một biến này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững 2 cộng trừ đa thức một biến theo hai cách

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Chương 4 Bài 8 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho hai đa thức \(f\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 5,g\left( x \right) =  - 3{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 2\)

  Tính h(x) = f(x) + g(x) và tìm bậc của h(x)

  • A. h(x) = -6x²-4x-3 và bậc của h(x) là 2
  • B. h(x) = -3 và bậc của h(x) là 1
  • C. h(x) = 4x-3 và bậc của h(x) là 1
  • D. h(x) = -3 và bậcc của h(x) là 0 

• Câu 2:

  Cho hai đa thức \(f\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 5,g\left( x \right) =  - 3{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 2\)

  Tính k(x) = f(x) - g(x) và tìm bậc của k(x)

  • A. k(x) = 6x² + 4x - 7 và bậc của k(x) là 2
  • B. k(x) = 4x - 7 và bậc của k(x) là 1
  • C. k(x) = 6x² + 4x - 7 và bậc của k(x) là 6
  • D. k(x) = -6x² - 4x - 7 và bậc của k(x) là 2

• Câu 3:

  Tìm hai đa thức P(x) và Q(x) sao cho P(x) + Q(x) = x² + 1

  • A. P(x) = x²; Q(x) = x + 1
  • B. P(x) = x² + x; Q(x) = x + 1
  • C. P(x) = x² - x; Q(x) = -x + 1
  • D. P(x) = x² - x; Q(x) = x + 1

• Câu 4:

  Cho \(f\left( x \right) = {x^5} - 3{{\rm{x}}^4} + {x^2} - 5;g\left( x \right) = 2{{\rm{x}}^4} + 7{{\rm{x}}^3} - {x^2} + 6\). Tìm hiệu f(x) - g(x) rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến ta được 

  • A. 11 + 2x² - 7x³ - 5x⁴ + x⁵
  • B. -11 + 2x² - 7x³ - 5x⁴ + x⁵
  • C. - 5x⁴ + x⁵ + 11 + 3x² - 7x³ 
  • D. - 5x⁴ + x⁵ + 11 + 3x² - 7x³ 

• Câu 5:

  Cho \(p\left( x \right) = 5{{\rm{x}}^4} + 4{{\rm{x}}^3} - 3{x^2} + 2{\rm{x}} - 1;q\left( x \right) =  - {x^4} + 2{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} - 5\)

  Tính p(x) + q(x) rồi tìm bậcc của đa thức thu được  

  • A. p(x) + q(x) = 6x³ - 6x² + 6x - 6 có bậc là 6
  • B. p(x) + q(x) = 6x³ - 6x² + 6x - 6 có bậc là 4
  • C. p(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ - 6x² + 6x - 6 có bậc là 4
  • D. p(x) + q(x) = 4x⁴ + 6x³ - 6x²​ - 6x + 6 có bậc là 4

Bài tập 44 trang 45 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 45 trang 45 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 46 trang 45 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 48 trang 46 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 49 trang 46 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 50 trang 46 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 51 trang 46 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 52 trang 46 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 53 trang 46 SGK Toán 7 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!