Bài 9: Nghiệm của đa thức một biến

Nghiệm của đa thức một biến:

Nếu tại x=a đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức đó.

Nhận xét:

• Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,…hoặc không có nghiệm nào.
• Người ta chứng minh được rằng số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vượt quá bậc của nó.

Ví dụ 1:

Kiểm tra xem mỗi số 1; 2; -1 có phải là 1 nghiệm của đa thức \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\) hay không?

Hướng dẫn giải:

Ta có đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\)

* Tại x=1 thì \(f\left( 1 \right) = {1^2} - 3.1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\) nên x=1 là một nghiệm của đa thức f(x).

* Tại x=2 thì \(f\left( 2 \right) = {2^2} - 3.2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0\) nên x=2 là một nghiệm của đa thức f(x).

* Tại x=-1 thì \(f\left( { - 1} \right) = {( - 1)^2} - 3.( - 1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \ne 0\) nên x=-1 không là nghiệm của đa thức f(x).

Ví dụ 2:

Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm.

a. \(P(x) = {x^2} + 1\)

b.\(Q(x) = (2{y^4} + 5)\)

Hướng dẫn giải:

a. Vì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 1 \ge 1\). Do đó:

\(P(x) = {x^2} + 1 > 0\) nên đa thức P(x) không có nghiệm.

b. Vì\({y^4} \ge 0\)nên \(2{y^4} + 5 \ge 5.\). Do đó:

\(Q(x) = 2{y^4} + 5 > 0\) nên đa thức Q(x) không có nghiệm.

Ví dụ 3:

a. Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \(f(x) = {a^2} + bx + c\) có một nghiệm là x=1.

Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \(f(x) = 8{x^2} - 6x - 2.\)

b. Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a - b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) có một nghiệm là x=-1.

Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \(f(x) = 7{x^2} + 11x + 4.\)

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: \(f(1) = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c = 0\)

Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)

Ta có 8+(-6)+(-2)=0, nên: \(f(x) = 8{x^2} - 6x - 2\) có một nghiệm x = 1.

b. Ta có: \(f( - 1) = a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c = a - b + c = 0\)

Vậy x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x).

Ta thấy \(7 - (11) + 4 = 0,\) nên:

\(f\left( x \right) = 7{x^2} + 11x + 4\) có một nghiệm x = -1.

Bài 1: 

Tìm nghiệm của đa thức:

a. \({x^2} - 2003x - 2004 = 0\).

b. \(2005{x^2} - 2004x - 1 = 0\).

Hướng dẫn giải:

a. Đa thức \({x^2} - 2003x - 2004\) có các hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004 và vì

a – b + c = 1 – (-2003) + (-2004)

=1 + 2003 – 2004 = 0

Nên đa thức \({x^2} - 2003x - 2004 = 0\) có một nghiệm là x = -1

b. Ta có a = 2005, b = -2004, c = -1

nên a + b + c = 2005 + (-2004) + (-1)

                        =2005 – 2005 = 0

Vậy đa thức \(2005{x^2} - 2004x - 1 = 0\) có một nghiệm là x = 1.

Bài 2: 

Cho đa thức \(f(x) = {x^3} + 2{x^2} + {\rm{ ax}} + 1.\)

Tìm a biết rằng đa thức f(x) có một nghiệm x = -2.

Hướng dẫn giải:

Đa thức f(x) có một nghiệm x = -2 nên f(-2) = 0.

Hay: \(\begin{array}{l}{( - 2)^3} + 2.{( - 2)^2} + a.( - 2) + 1 = 0\\ =  - 8 + 8 - 2a + 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\end{array}\)

Vậy \( \Rightarrow a = \frac{1}{2}\) thì f(x) có nghiệm x = -2.

Bài 3: 

Cho đa thức \(f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}.\) Trong đó các hệ số \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) và số hạng độc lập \({a_0}\) nhận các giá trị là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu f(x) có một nghiệm \(x = {x_0}\) nhận giá trị nguyên thì \({x_0}\) phải là một ước của \({a_0}\).

Hướng dẫn giải:

Giả sử \(x = {x_0}\) là một nghiệm nguyên của f(x)

Ta có: \(f({x_0}) = {a_n}x_0^n + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0} = 0\)

Trong đẳng thức này, các số hạng của tổng là \({a_n}x_0^n,{a_{n - 1}}{x^{n - 1}},...,{a_1}\)đều chia hết cho \({a_0}\). Vậy \({a_0}\) cũng phải chia hết cho \({x_0}\) hay \({x_0}\) phải là một ước của \({a_0}\).

Qua bài giảng Nghiệm của đa thức một biến này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững khái niệm nghiệm của đa thức một biến
• Biết cách tìm nghiệm của đa thức một biến

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Bài 9 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho đa thức f(x)=2x² + 12x + 10. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đa cho

  • A. -9
  • B. 1
  • C. -1
  • D. -4

• Câu 2:

  Cho các giá trị của x là 0; -1; 1; 2; -2. Giá trị nào của x là nghiệm của đa thức P(x)=x²+x-2

  • A. x = 1; x = -2
  • B. x = 1; x = -2; x = 0
  • C. x = 1; x = 2
  • D. x = 1; x = -2; x = 2

• Câu 3:

  Tập nghiệm của đa thức f(x) = (x+14)(x-4) là

  • A. {4; 14}
  • B. {-4; 14}
  • C. {-4; 1-4}
  • D. {4; -14}

Bài tập 54 trang 48 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 55 trang 48 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 56 trang 48 SGK Toán 7 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!