Bài 7: Đa thức một biến

• Đa thức một biến là tổng của các đơn thức của cùng một biến. Do đó, mỗi số cũng có thể coi là một đa thức của một biến nào đó.
• Sau đó thu gọn đa thức có thể được sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần hoặc tăng tằng của biến.

Bậc của đa thức một biến khác đa thức không (đa thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến có trong đa thức đó.

a. Hệ số của đa thức:

• Hệ số cao nhất là hệ số của số hạng có bậc cao nhất.
• Hệ số tự do là số hạng không chứa biến.

b. Giá trị của đa thức f(x) tại x=a được kí hiệu là f(a).

Ví dụ 1:

Thu gọn các đa thức sau và sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần của biến:

a. \(2{x^3} - {x^5} + 3{x^4} + {x^2} - \frac{1}{2}{x^3} + 3{x^5} - 2{x^2} - {x^4} + 1\).

b. \({x^7} - 3{x^4} + 2{x^3} - {x^2} - {x^4} - x + {x^7} - {x^3} + 5\).

Hướng dẫn giải:

a.

\(\begin{array}{l}2{x^3} - {x^5} + 3{x^4} + {x^2} - \frac{1}{2}{x^3} + 3{x^5} - 2{x^2} - {x^4} + 1\\ = (2{x^3} - \frac{1}{2}{x^3}) + ( - {x^5} + 3{x^5}) + (3{x^4} - {x^4}) + ({x^2} - 2{x^2}) + 1\\ = \frac{2}{3}{x^3} + 2{x^5} + 2{x^4} - {x^2} + 1\\ = 2{x^5} + 2{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} - {x^2} + 1\end{array}\).

b.

\(\begin{array}{l}{x^7} - 3{x^4} + 2{x^3} - {x^2} - {x^4} - x + {x^7} - {x^3} + 5\\ = ({x^7} + {x^7}) + ( - 3{x^4} - {x^4}) + (2{x^3} - {x^3}) + ( - {x^2}) + 5\\ = 2{x^7} - 4{x^4} + {x^3} - {x^2} - x + 5\end{array}\).

Ví dụ 2:

Tính giá trị của các đa thức:

a. \(x + {x^2} + {x^3} + {x^4} + {x^5} + ... + {x^{99}} + {x^{100}}\) tại x=-1.

b. \({x^2} + {x^4} + {x^6} + {x^8} + .... + {x^{98}} + {x^{100}}\) tại x=-1.

Hướng dẫn giải:

a. Thay x=-1 vào ta được:

\(\begin{array}{l}x + {x^2} + {x^3} + {x^4} + {x^5} + ... + {x^{99}} + {x^{100}}\\ = ( - 1) + {( - 1)^2} + {( - 1)^3} + {( - 1)^4} + {( - 1)^5} + ... + {( - 1)^{99}} + {( - 1)^{100}}\\ =  - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 + ... - 1 + 1 = 0\end{array}\).

b. Thay x=-1 vào ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {x^4} + {x^6} + {x^8} + .... + {x^{98}} + {x^{100}}\\ = {( - 1)^2} + {( - 1)^4} + {( - 1)^6} + {( - 1)^8} + .... + {( - 1)^{98}} + {( - 1)^{100}}\\ = \underbrace {1 + 1 + ...... + 1}_{50\,\,so\,\,\,hang} = 50\end{array}\).

Ví dụ 3:

Cho đa thức sau:

\(5{x^7} - 7{x^6} + 5{x^5} - 4{x^4} + 7{x^6} - 3{x^2} + 1 - 5{x^7} - 3{x^5}\)

Bậc của đa thức đã cho là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Thu gọn đa thức đã cho ta được:

\(\begin{array}{l}5{x^7} - 7{x^6} + 5{x^5} - 4{x^4} + 7{x^6} - 3{x^2} + 1 - 5{x^7} - 3{x^5}\\ = (5{x^7} - 5{x^7}) + ( - 7{x^6} + 7{x^6}) + (5{x^5} - 3{x^5}) - 4{x^4} - 3{x^2} + 1\\ = 2{x^5} - 4{x^4} - 3{x^2} + 1\end{array}\).

Đa thức có bậc là 5.

Bài 1:

Cho \(P(x) =  - 3{x^2} + 7x + 12 - 28{x^4}\) và \(Q(x) = 13{x^2} + 22{x^3} + 15{x^4} + 3x.\). Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{\begin{array}{l}P(x) = 12 + 7x - 3{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 28{x^4}\\ + \\Q(x) = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3x + 13{x^2} + 22{x^3} + 15{x^4}\end{array}}{{P(x) + Q(x) = 12 + 10x + 10{x^2} + 22{x^3} - 13{x^4}}}\).

Và: \(\frac{\begin{array}{l}P(x) = 12 + 7x - 3{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 28{x^4}\\ + \\ - Q(x) = \,\,\,\,\,\,\, - \,3x - 13{x^2} - 22{x^3} - 15{x^4}\end{array}}{{P(x) - Q(x) = 12 + 4x - 16{x^2} - 22{x^3} - 43{x^4}}}\).

Bài 2:

Cho đa thức: \(f = 2x - {x^2} + 2.|x + 1|\)

a. Thu gọn đa thức f.

b. Tính giá trị của f khi \(x =  - \frac{3}{2}\).

Hướng dẫn giải:

\(f = 2x - {x^2} + 2.|x + 1|\)

a. Thu gọn:

Nếu \(\begin{array}{l}x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge  - 1\\f = 2x - {x^2} + 2(x - 1) = 2x - {x^2} + 2x + 2\\ =  - {x^2} + 4x + 2\end{array}\).

Nếu \(x + 1 < 0 \Rightarrow x <  - 1\)

\(f = 2x - {x^2} + 1[ - (x - 1){\rm{]}} = 2x - {x^2} - 2x - 2 =  - {x^2} - 2\)

Vậy \(f =  - {x^2} + 4x + 2\) với \(x \ge  - 1\)

\( - {x^2} - 2\) với \(x <  - 1\).

b. Tính giá trị của f khi \(x =  - \frac{3}{2}\)

Vì \(x =  - \frac{3}{2} <  - 1\) nên \(f =  - {x^2} - 2 =  - {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} - 2 =  - \frac{9}{4}2 =  - \frac{{17}}{4}\).

Bài 3:

Cho P(x) là một đa thức bậc 4 sao cho P(1)=P(-1) và P(2)=P(-2). Chứng minh rằng P(x)=P(-x) với mọi \(x \in Q.\)

Hướng dẫn giải:

P(x) là một đa thức bậc 4 nên P(x) có dạng thu gọn là:

\(P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + {a_4}{x^4}\)

Từ các điều kiện P(1)=P(-1) và P(2)=P(-2), ta suy ra:

\(\begin{array}{l}{a_1} + {a_3} =  - {a_1} + {a_3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2{a_1} + 8{a_3} =  - 2{a_1} - 8{a_3}\,\,\,(2)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra: \({a_1} = {a_3} = 0\)

Vậy \(P(x) = {a_0} + {a_2}{x^2} + {a_4}{x^4} = {a_0} + {a_2}{( - x)^2} + {a_4}{( - x)^4} = P( - x)\) với mọi \(x \in Q.\)

Nhận xét:

Trong bài này, ta sử dụng dạng thu gọn của một đa thức bậc 4. Chú ý rằng dạng thu gọn của một đa thức bậc n là:

\(f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + .... + {a_1}x + {a_0}\)

Từ bài toán này ta rút ra: Nếu đa thức f(x) chỉ gồm các luỹ thừa bậc chẵn của biến x thì f(x)=f(-x) với mọi \(x \in Q.\)

Qua bài giảng Đa thức một biến này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Khái niệm đa thức một biến
• Cách tính bậc của đa thức một biến
• Hệ số, giá trị của một đa thức

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Bài 7 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Đa thức nào dưới đây là đa thức một biến?

   

  • A. x² + y +1
  • B. x³ - 2x² + 3
  • C. xy + x² - 3
  • D. xyz - yz +3

• Câu 2:

  Sắp xếp đa thức \(6{{\rm{x}}^3} + 5{{\rm{x}}^4} - 8{{\rm{x}}^6} - 3{{\rm{x}}^2} + 4\) theo lũy thừa giảm dần của biến ta được

  • A. \( - 8{{\rm{x}}^6} + 5{{\rm{x}}^4} + 6{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 4\)
  • B. \( - 8{{\rm{x}}^6} + 5{{\rm{x}}^4} - 3{{\rm{x}}^2} + 6{{\rm{x}}^3} + 4\)
  • C. \( 8{{\rm{x}}^6} + 5{{\rm{x}}^4} + 6{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 4\)
  • D. \( - 8{{\rm{x}}^6} - 5{{\rm{x}}^4} - 6{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 4\)

• Câu 3:

  Đa thức \(7{{\rm{x}}^{12}} - 8{{\rm{x}}^{10}} + {x^{11}} - {x^5} + 6{{\rm{x}}^6} + x - 10\) được sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến ta được 

  • A. \(  10 + x - {x^5} + 6{{\rm{x}}^6} - 8{{\rm{x}}^{10}} + {x^{11}} - 7{{\rm{x}}^{12}}\)
  • B. \( - 10 - x - {x^5} + 6{{\rm{x}}^6} + 8{{\rm{x}}^{10}} + {x^{11}} + 7{{\rm{x}}^{12}}\)
  • C. \( - 10 + x - {x^5} + 6{{\rm{x}}^6} + 8{{\rm{x}}^{10}} + {x^{11}} + 7{{\rm{x}}^{12}}\)
  • D. \( - 10 + x - {x^5} + 6{{\rm{x}}^6} - 8{{\rm{x}}^{10}} + {x^{11}} + 7{{\rm{x}}^{12}}\)

Bài tập 39 trang 43 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 40 trang 43 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 41 trang 43 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 42 trang 43 SGK Toán 7 Tập 2

Bài tập 43 trang 43 SGK Toán 7 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!