Bài tập SGK Bài 1: Nguyên hàm

Kiểm tra xem hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau: 

a) \(f\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) và \(g\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\);

b) \(f\left( x \right) = {e^{\sin x}}\cos x\) và \(g\left( x \right) = {e^{\sin x}}\);

c) \(f\left( x \right) = {\sin ^2}\frac{1}{x}\) và \(g\left( x \right) =  - \frac{1}{{{x^2}}}\sin \frac{2}{x}\).

Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

a) \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 6x + 1}}{{2x - 3}}\) và \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 10}}{{2x - 3}}\)

b) \(F\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) và \(G\left( x \right) = 10 + {\cot ^2}x\)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {\left( {x - 9} \right)^4}\)

b) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}\)

c) \(f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\)

d) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\)

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) \(\mathop \smallint \nolimits {x^2}\sqrt[3]{{1 + {x^3}}}dx\) với x > - 1 (đặt \(t = 1 + {x^3}\)   

b) \(\mathop \smallint \nolimits x{e^{ - {x^2}}}dx\)   (đặt \(t = {x^2}\))

c) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{x}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}dx\) (đặt \(t = 1 + {x^2}\));

d) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\sqrt x }}dx\) (đặt \(t = \sqrt x \));

e) \(\int {\sin } \frac{1}{x}.\frac{1}{{{x^2}}}dx\) (đặt \(t = \frac{1}{x}\))

g) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^2}}}{x}dx\) (đặt \(t = \sqrt x \))

h) \(\int {\frac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}}}}} dx\) (đặt \(t = \cos x\))

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) \(\smallint (1 - 2x)exdx\)

b) \(\smallint xe - xdx\)     

c) \(\smallint x\ln (1 - x)dx\)

d) \(\smallint x\sin 2xdx\)

Tính các nguyên hàm sau:

a) \(\mathop \smallint \nolimits x{\left( {3 - x} \right)^5}dx\)

b) \(\mathop \smallint \nolimits {\left( {{2^x} - {3^x}} \right)^2}dx\)

c) \(\mathop \smallint \nolimits x\sqrt {2 - 5x} dx\)

d) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{{\ln \left( {\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}dx\)

e) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{x}{{{{\sin }^2}x}}dx\)

g) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}dx\)

h) \(\mathop \smallint \nolimits \frac{1}{{1 - \sqrt x }}dx\)

i) \(\int {\sin 3x\cos 2x} dx\)

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:

a) \(\int {{{\sin }^4}} xdx\)                 b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^3}x}}dx} \)

c) \(\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \)       d) \(\int {{{\sin }^4}x{{\cos }^4}xdx} \)