Bài 1: Đa giác - Đa giác đều

- Đa giác n cạnh (cũng gọi là hình n giác) là hình gồm n đoạn thẳng trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Một đa giác n – cạnh thì có n đỉnh, n góc.

- Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Đa giác đều là đa giác có:

- Tất cả các cạnh đều bằng nhau

- Tất cả các góc đều bằng nhau.

Ví dụ 1:

1, Tính tổng số đo các góc trong của một hình n giác. Áp dụng tính tổng số đo các góc trong của hình tứ giác, ngũ giác, lục giác.

2. Tính tổng số đo các góc ngoài của một đa giác. Có nhận xét gì về kết quả nhận được?

Giải

1. Từ một điểm O thuộc miền trong của đa giác, ta nối với n đỉnh, tạo ra n tam giác.

Tổng số các góc trong của n tam giác này là: \(n{.180^0}\)

Tổng số các góc có đỉnh là điểm O, rõ ràng là bằng 2 góc bẹt: \({2.180^0}.\)

Vậy tổng số góc trong của n giác là: \(n{.180^0} - {2.180^0} = (n - 2){.180^0}\)

Với tứ giác: n = 4 \( \Rightarrow \) Tổng số đo các góc là \({2.180^0} = {360^0}.\)

Với ngũ giác: n = 5 \( \Rightarrow N = {3.180^0} = {540^0}\)

Với lục giác: n = 6 \( \Rightarrow N = {4.180^0} = {720^0}\)

2. Góc ngoài tại đỉnh A của đa giác có số đo là: \({180^0} - \widehat A\)

Đối với các góc ở các đỉnh khác cũng tương tự.

Như vậy tổng số góc ngoài của đa giác n cạnh là:

\(n{.180^0} - (\widehat A + \widehat B + \widehat C + ....)\)

Theo kết quả câu 1 thì \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + ... = (n - 2){.180^0}\)

Vậy tổng số góc ngoài của n giác là:

\(n{.180^0} - (n - 2){.180^0} = {2.180^0} = {360^0}\)

Vậy tổng số các góc của một đa giác là \({360^0}\). Số này không phụ thuộc vào số cạnh của đa giác.

Ví dụ 2: Tính số đo mỗi góc của đa giác đều n cạnh.

Áp dụng tính số đo mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều, thập giác đều.

Giải

Tổng số đo góc trong của đa giác là: \((n - 2){.180^0}.\)

Đa giác đều có các góc đều bằng nhau. Vậy mỗi góc có số đo là:

\({\alpha ^0} = \frac{{(n - 2){{.180}^0}}}{n}\)

Áp dụng:

\(\begin{array}{l}n = 5 \Rightarrow \alpha  = {108^0}\\n = 6 \Rightarrow \alpha  = {120^0}\\n = 8 \Rightarrow \alpha  = {135^0}\\n = 10 \Rightarrow \alpha  = {144^0}\end{array}\)

Ví dụ 3: Cho một đa giác n cạnh. Tính tổng số các đường chéo của đa giác.

Áp dụng tính số đường chéo của hình 8 cạnh (bát giác) hình 10 cạnh (thập giác).

Giải

Từ mỗi đỉnh, ta nối với n-1 đỉnh còn lại để được n – 1 đoạn thẳng, trong đó có hai đoạn thẳng nối đỉnh ấy với hai đỉnh kề nó, là hai cạnh.

Vậy ta chỉ còn

(n – 1) – 2 = n – 3 đường chéo.

Có n đỉnh. Vậy nối dược n(n-3) đường chéo. Tuy vậy, theo cách tính này thì mỗi đường chéo được kể làm 2 lần. Vậy số đường chéo của đa giác n cạnh là:

\(N = \frac{{n(n - 3)}}{2},n \in \mathbb{N}^*\)

Với n = 8 \( \Rightarrow {N_8} = 20\) (đường chéo)

Với n =10 \( \Rightarrow {N_{10}} = 35\)(đường chéo)

Bài 1: Cho biết một đa giác có 14 đường chéo.

1. Đa giác này có bao nhiêu cạnh?

2. Tính tổng số góc trong của đa giác.

Giải

1. Ta gọi n là số đường chéo của đa giác, \(n \in \mathbb{N}^*\) thì

\(\frac{{n(n - 3)}}{2} = 14 \Rightarrow {n^2} - 3n = 28\)

Vế trái chia hết cho n. Vậy nếu có một số n thoả mãn  đẳng thức trên thì n phải chia hết 28, tức là n phải là một ước tự nhiên của 28.

Số 28 có các ước tự  nhiên 1; 2; 4; 7; 14; 28.

Sau khi thử, ta thấy với \(n = 1 \Rightarrow {7^2} - 3.7 = 49 - 21 = 28.\)

Vậy n = 7 là thích hợp.

Đa giác đã cho là đa giác có 7 cạnh.

2. Tổng số góc của đa giác là

\((7 - 2){.180^0} = {900^0}\)

Bài 2: Cho tam giác đều ABC. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua A; C’ là điểm đối xứng của C qua A. Trên đường thẳng qua A và song song với BC, ta lấy hai điểm D, E sao cho DA = AE = BC. Chứng minh lục giác BCEB’C’D là lục giác đều.

Giải

Các tam giác ABC, CAE, EAB’, B’AC’, C’AD, DAB là các tam giác đều bằng nhau cho ta

BC = CE = E’B = B’C’ = C’D = DB

và \(\widehat {DBC} = \widehat {BCE} = \widehat {CEB'} = \widehat {EB'C'} = \widehat {B'C'D} = \widehat {C'DB} = {120^0}\)

\( \Rightarrow \) BCEB’C’D là lục giác đều.

Bài 3: Tính tổng số góc trong của hình sao ABCDE.

Giải

Góc R là góc ngoài của \(\Delta RDB\) nên

\(\widehat R = \widehat D + \widehat B\)

Tương tự \(\widehat M = \widehat C + \widehat E\)

\( \Rightarrow \widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D + \widehat E = \widehat A + \widehat R + \widehat M = {180^0}\)

Bài 4: Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q,R theo thứ tự là trung điểm của các cạnh DC, CB, BA, AE và ED. Chứng minh:

1. \(AM \bot DC\) và \(BE \bot CD.\)

2. Các đường thẳng AM, BR, CQ, DP và EN cùng đi qua một điểm O.

3. Các đường thẳng AD, BE, CQ cắt nhau tại một điểm.

Giải

1. \(\Delta ABC = \Delta AED\)

\( \Rightarrow AC = AD\)

\( \Rightarrow \Delta ACD\) cân đỉnh A; AM là trung tuyến cũng là đường cao nên

\(AM \bot CD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

AM cũng là phân giác của góc CAD.

Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {EAM}\)

Tam giác BAE cân nên AM cũng là đường cao, suy ra:

\(AM \bot BE\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra BE // CD.

2. Dễ thấy AM là đường trung trực của các đoạn thẳng CD, BE.

Tương tự, ta có CQ là trung trực của AE và BR là trung trực của AC.

Giả sử CQ và AM cắt nhau tại điểm O, thế thì

OE = OA và  OE = OC \( \Rightarrow \) OA = OC

Điều này chứng tỏ điểm O nằm trên đường trung trực BR của AC hay BR đi qua O.

Đối với các đường thẳng khác, lí luận tương tự.

3. Ta có

\(AD \bot OE,CQ \bot AE\) và\(BE \bot OA\)

\( \Rightarrow \) đpcm (dựa vào tính chất của đường cao trong tam giác)

Qua bài giảng Đa giác - Đa giác đều này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững lý thuyết về đa giác, đa giác đều
• Vận dụng kiến thức giải được một số bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 1 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho đa giác 8 cạnh, số đường chéo của đa giác đó là 

  • A. 40
  • B. 28
  • C. 20
  • D. 16

• Câu 2:

  Tổng số đo các góc của đa giác đều 7 cạnh là: 

  • A. 900⁰
  • B. 540⁰
  • C. 1080⁰
  • D. 108⁰

• Câu 3:

  Mỗi góc trong của đa giác đều n cạnh là:

   

  • A. \({\left( {n - 1} \right){{.180}^0}}\)
  • B. \({\left( {n - 2} \right){{.180}^0}}\)
  • C. \(\frac{{\left( {n - 2} \right){{.180}^0}}}{2}\)
  • D. \(\frac{{\left( {n - 2} \right){{.180}^0}}}{n}\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 3 trang 155 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 4 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 5 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 6 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 7 trang 15 SBT Toán 6 Tập 1

Bài tập 8 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 9 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 10 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 11 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 1.1 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 1.2 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 1.3 trang 157 SBT Toán 8 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!