Bài 5: Diện tích hình thoi

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có \(AC \bot B{\rm{D}}\), AC=6cm; BD=7cm. Tính diện tích ABCD.

Giải:

Giải:

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo.

Ta có:

 \(\begin{array}{*{20}{l}}
{{S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BC{\rm{D}}}}}\\
{ = \frac{1}{2}AI.BD + \frac{1}{2}IC.BD}\\
{ = \frac{1}{2}BD.\left( {AI + IC} \right)}\\
{ = \frac{1}{2}B{\rm{D}}.AC = \frac{1}{2}.6.7 = 21(c{m^2})}
\end{array}\)

Nhận xét: Diện tích của một tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng một nửa tích hai đường chéo. 

• Định lí: Diện tích hình thoi bằng một nửa tích hai đường chéo \(S = \frac{1}{2}{d_1}.{d_2}\)

- Lưu ý: Hình thoi cũng là một hình bình hành đặc biệt nên ta có thể sử dụng công thức tính diện tích hình bình hành để tính diện tích hình thoi.

Bài 1: Hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo lần lượt là AC=6cm và BD=8cm. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD.

Hướng dẫn:

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi ABCD.

Ta có IA=IC=3cm; IB=ID=4cm

Áp dụng định lí Pithagoras vào tam giác vuông AIB ta có:

\(\begin{array}{l} A{I^2} + I{B^2} = A{B^2}\\ {3^2} + {4^2} = 25 = A{B^2}\\ \Rightarrow AB = 5cm \end{array}\)

\(\begin{array}{l} {S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}AC.B{\rm{D = AB}}{\rm{.}}{{\rm{d}}_{\left( {C{\rm{D}};AB} \right)}} = \frac{1}{2}6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\\ \Rightarrow {\rm{AB}}{\rm{.}}{{\rm{d}}_{\left( {C{\rm{D}};AB} \right)}} = 24 \Rightarrow 5.{{\rm{d}}_{\left( {C{\rm{D}};AB} \right)}} = 24 \Rightarrow {{\rm{d}}_{\left( {C{\rm{D}};AB} \right)}} = \frac{{24}}{5}\left( {cm} \right) \end{array}\)

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD có AB=5cm,BC=5cm CD=11cm. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích MNPQ. 

Hướng dẫn:

Gọi I là giao điểm của MP và QN ta có 

QN là đường trung bình của hình thang. ⇒\(QN\parallel AB\parallel C{\rm{D}}\) 

Xét hình thang AMPD có Q là trung điểm AD,

QI song song với DP

⇒ QI là đường trung bình của hình thang AMPD ⇒I là trung điểm MP

Mặt khác ta có MP là trục đối xứng của ABCD  ⇒ MP là trung trực của QN

⇒MNPQ là hình thoi.

Ta có \(QN = \frac{{AB + C{\rm{D}}}}{2} = \frac{{5 + 11}}{2} = 8\left( {cm} \right)\)

Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của A và B lên CD.Dễ thấy rằng hai tam giác AED và BFC bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn nên DE=FC

Mặt khác nhận thấy ABFE là hình chữ nhật ( có 3 góc vuông) nên AB-EF=5cm

Ta có : CD=CF+FE+ED=2ED+EF=2ED+5=11⇒ED=3(cm)

Áp dụng định lí Pithagoras vào tam giác vuông ADE được: AE²+ED²=AD² ⇒AE²=AD²-ED²=5²-3²=16⇒AE=4 (cm)

Dễ thấy AE=MP=4cm

Diện tích hình thoi MNPQ là: \({S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MP.NQ = \frac{1}{2}4.8 = 16\left( {c{m^2}} \right)\)

Qua bài giảng Diện tích hình thoi này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Biết cách tính diện tích một tứ giác có hai đường chép bằng nhau
• Nắm vững công thức tính diện tích hình thoi
• Vận dụng kiến thức đã học làm được một số bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 5 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Chọn câu sai?

  • A. Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao
  • B. Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó
  • C. Diện tích hình bình hành bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao tương ứng của nó
  • D. Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo 

• Câu 2:

  Chọn câu đúng

  • A. Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng tích hai đường chéo 
  • B. Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng hiệu hai đường chéo 
  • C. Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng tổng hai đường chéo 
  • D. Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo 

• Câu 3:

  Cho hình bình hành ABCD (AB // CD), đường cao AH = 6cm, CD = 12cm. Diện tích hình bình hành ABCD là:

   

  • A. 50 cm²
  • B. 36 cm²
  • C. 24 cm²
  • D. 72 cm²

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 33 trang 128 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 34 trang 128 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 35 trang 129 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 36 trang 129 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 42 trang 162 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 43 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 44 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 45 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 46 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 5.1 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 5.2 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 5.3 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!