80 bài tập hình học có lời giải

Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P.

Chứng minh rằng:

1. Tứ giác CEHD nội tiếp.

2. Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

3. AE.AC=AH.AD; AD.BC=BE.AC.

4. H và M đối xứng nhau qua BC.

5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Lời giải:

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

$\mathrm{\angle }CEH={90}^0$ (  Vì BE là đường cao)

$\mathrm{\angle }CDH={90}^0$ (  Vì AD là đường cao)

$\Rightarrow \mathrm{\angle }CEH+\mathrm{\angle }CDH={180}^0$

Mà $\mathrm{\angle }CEH$ và $\mathrm{\angle }CDH$ là hai góc đối của tứ giác CEHD, do đó CEHD là tứ giác nội tiếp.

2. Theo giả thiết:

BE là đường cao$\Rightarrow BE\mathrm{\perp }AC\Rightarrow \mathrm{\angle }BEC={90}^0$

CF là đường cao $\Rightarrow CF\mathrm{\perp }AB\Rightarrow \mathrm{\angle }BFC={90}^0$

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc ${90}^0$

=> E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có:$\mathrm{\angle }AEH=\mathrm{\angle }ADC={90}^0$ ,$\mathrm{\angle }A$ là góc chung:$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AEH\sim \mathrm{\Delta }ADC\Rightarrow \frac{AE}{AD}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AE.AC=AH.AD$

Xét hai tam giác BEC và ADC có: $\mathrm{\angle }BEC=\mathrm{\angle }ADC={90}^0$, $\mathrm{\angle }C$ là góc chung:

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BEC\sim \mathrm{\Delta }ADC\Rightarrow \frac{BE}{AD}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow AD.BC=BE.AC.$

4. Ta có:$\mathrm{\angle }{C}_1=\mathrm{\angle }{A}_1$ (vì cùng phụ với gócABC)

$\mathrm{\angle }{C}_2=\mathrm{\angle }{A}_1$( Vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM )

$\Rightarrow \mathrm{\angle }{C}_2=\mathrm{\angle }{C}_1$=> CB là tia phân giác của góc HCM; lại có $\begin{array}{l}CB\mathrm{\perp }HM\end{array}$ => Tam giác CHM cân tại C.

=> CB cũng là đường trung trực của HM. Vậy H và M đối xứng nhau qua BC.

5. Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn

$\Rightarrow \mathrm{\angle }{C}_1=\mathrm{\angle }{E}_1$(vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \mathrm{\angle }{C}_1=\mathrm{\angle }{E}_2$(vì là hai goc nội tiếp cùng chắn cung HD)

$\Rightarrow \mathrm{\angle }{E}_1=\mathrm{\angle }{E}_2$=> EB là tia phân giác góc FED.

Chứng minh tương tự ta cũng có FC là phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Trên đây chỉ trích một phần nội dung của 80 bài tập hình học có lời giải. Để xem toàn bộ nội dung đề kiểm tra các em vui lòng đăng nhập vào trang Chúng tôi.net để tải về máy tính. Hi vọng tài liệu này giúp các em ôn tập và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới. Chúc các em học tốt!