37 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ MẶT CẦU – KHỐI CẦU TOÁN 12 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), AB = 1, AC = 2 và \(\widehat {BAC} = 60^\circ .\) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính bán kính R của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, M, N.
A. \(R = \sqrt 2 \).
B. \(R = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
C. \(R = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
D. R = 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
.png?enablejsapi=1)
Gọi K là trung điểm của AC suy ra :
Lại có
\(\widehat {BAC} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ABK} = 60^\circ ;\,\widehat {KBC} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} = 90^\circ \left( 1 \right)\)
Theo giả thiết \(\widehat {ANC} = 90^\circ \left( 2 \right)\)
Chứng minh \(\widehat {AMC} = 90^\circ \left( 3 \right)\)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{array}{l} BC \bot SA;\,BC \bot AB \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\\ AM \bot SB \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AM \bot MC \end{array}\)
Từ (1), (2), (3) suy ra các điểm A, B, C, M, N nội tiếp đường tròn tâm K, bán kính \(KA = KB = KC = KM = KN = \frac{1}{2}AC = 1\).
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
A. \(R = \frac{{a\sqrt {21} }}{3}\).
B. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
C. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
D. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Hướng dẫn giải:
.png)
Qua O, kẻ \(\left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) thì \(\left( {{\Delta _1}} \right)\) là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên kẻ \(SH \bot AB\) thì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SAB và kẻ \(\left( {{\Delta _2}} \right) \bot \left( {SAB} \right)\) tại E thì \(\left( {{\Delta _2}} \right)\) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB (1)
\(\left( {{\Delta _1}} \right)\) cắt \(\left( {{\Delta _2}} \right)\) tại I: tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Tứ giác OHEI có 3 góc vuông O, H, E nên là hình chữ nhật
\(SH = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\, = \,\,a\sqrt 3 \Rightarrow \,\,EH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Trong \(\Delta AIO:\,\,\,R = AI = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{3}\).
Chọn A.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai?
A. \(R = d\left[ {G,\left( {SAB} \right)} \right].\).
B. \(3\sqrt {13} R = 2SH.\).
C. \(\frac{{{R^2}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{39}}.\).
D. \(\frac{R}{a} = \sqrt {13} .\).
Hướng dẫn giải:
.png)
Ta có \({60^0} = \widehat {SA,\left( {ABC} \right)} = \widehat {SA,HA} = \widehat {SAH}\).
Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Trong tam giác vuông SHA, ta có \(SH = AH.\tan \widehat {SAH} = \frac{{3a}}{2}\).
Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu \(R = d\left[ {G,\left( {SAB} \right)} \right].\)
Ta có \(d\left[ {G,\left( {SAB} \right)} \right] = \frac{1}{3}d\left[ {C,\left( {SAB} \right)} \right] = \frac{2}{3}d\left[ {H,\left( {SAB} \right)} \right].\)
Gọi M, E lần lượt là trung điểm AB và MB.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} CM \bot AB\\ CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l} HE \bot AB\\ HE = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \end{array} \right.\).
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE, suy ra \(HK \bot SE\). (1)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} HE \bot AB\\ AB \bot SH \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow AB \bot HK.\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(HK \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(d\left[ {H,\left( {SAB} \right)} \right] = HK\).
Trong tam giác vuông SHE, ta có \(HK = \frac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{3a}}{{2\sqrt {13} }}\).
Vậy \(R = \frac{2}{3}HK = \frac{a}{{\sqrt {13} }}\).
Chọn D.
Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 600 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C' bằng:
A. \(\frac{{85a}}{{108}}.\)
B. \(\frac{{3a}}{2}\).
C. \(\frac{{3a}}{4}.\)
D. \(\frac{{31a}}{{36}}.\)
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm B'C', ta có
\({60^0} = \widehat {\left( {AB'C'} \right),\left( {A'B'C'} \right)} = \widehat {AM,A'M} = \widehat {AMA'}\)
Trong \(\Delta AA'M\), có \(A'M = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\);
\(AA' = A'M.\tan \widehat {AMA'} = \frac{{3a}}{2}\)
Gọi G' là trọng tâm tam giác đều A'B'C', suy ra G' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta A'B'C'.\)
Vì lặng trụ đứng nên \(GG' \bot \left( {A'B'C'} \right)\).
Do đó GG' là trục của tam giác A'B'C'.
Trong mặt phẳng (GCG'), kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC' cắt GG' tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C', bán kính R = GI
Ta có \(\Delta GPI\,\, \sim \,\,\Delta GG'C' \Rightarrow \frac{{GP}}{{GI}} = \frac{{GG'}}{{GC'}}\)
\( \Rightarrow R = GI = \frac{{GP.GC'}}{{GG'}} = \frac{{GC{'^2}}}{{2GG'}} = \frac{{GG{'^2} + G'C{'^2}}}{{2GG'}} = \frac{{31a}}{{36}}\)
Chọn D.
Câu 5: Cho hình chóp đều S.ABC có đường cao SH = a; góc SAB bằng 45 độ. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
A. a/2.
B. a.
C. 3a/2.
D. 2a.
Hướng dẫn giải:
.png)
Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Khi đó IA = IB = IC = ID = IS hay
\(\left\{ \begin{array}{l} IA = IB = IC = ID(1)\\ IA = IS(2) \end{array} \right.\)
Gọi H là giao điểm của AC và BD. Từ (1) suy ra \(I \in SH(*)\)
Trong mặt phẳng (SAH) dựng đường thẳng là trung trực \(\Delta\) của SA
Từ (2), suy ra
\(\begin{array}{l} I \in \Delta (2*)\\ (*) + (2*) \to SH \cap \Delta = \left\{ I \right\} \end{array}\)
Gọi M là trung điểm của SA, khi đó:
\(\frac{{SI}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SH}} \to R = SI = \frac{{SM.SA}}{{SH}} = \frac{{SA.SA.}}{{2SH}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SH}}\)
Do SAB cân tại S và có \(\angle SAB = {45^0}\) nên SAB vuông cân tại S. Đặt SA = x, khi đó \(AB = x\sqrt 2 ;HA = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} = \frac{{x\sqrt 6 }}{3}\)
Trong tam giác vuông SHA có:
\(S{A^2} - H{A^2} = S{H^2} \leftrightarrow {x^2} - \frac{{6{x^2}}}{9} = {a^2} \leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} \to R = \frac{{3{a^2}}}{{2a}} = \frac{{3a}}{2}\)
Chọn C.
{-- Để xem nội dung đầy đủ của tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}
Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu 37 bài tập trắc nghiệm về Mặt cầu - Khối cầu Toán 12 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Chúc các em học tốt!
