10 Bài Toán bồi dưỡng học sinh giỏi 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
(Chuyên đề: Tổ hợp và rời rạc)
Câu 1: Trên bảng ghi 20 câu khẳng định trong đó có một số câu đúng và một số câu sai.
Ban tổ chức đưa cho bạn Việt các phiếu sau:
1.Trên bảng có ít nhất 1 khẳng định sai
2.Trên bảng có ít nhất 2 khẳng định sai
3.Trên bảng có ít nhất 3 khẳng định sai
…
20.Trên bảng có ít nhất 20 khẳng định sai.
Việt có thể giữ nguyên thứ tự các phiếu trên hoặc đổi chỗ các phiếu đó với điều kiện: Nếu câu m đúng thì nhận thưởng 200.000 đồng x m từ ban tổ chức. Hãy giúp bạn Việt sắp xếp hợp lí các câu trên để bạn Việt nhận được số tiền lớn nhất từ ban tổ chức.
Câu 2: Chứng minh rằng không thể phủ kín hình vuông 10 x 10 bằng 25 hình chữ nhật 1 x 4.
Câu 3:
a) Cho 6 điểm bất kỳ trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối 2 điểm trong đó được tô màu xanh hoặc đỏ. CMR: tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu.
b) Cho 17 điểm bất kỳ trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối 2 điểm trong đó được tô màu xanh, màu đỏ hoặc màu vàng. CMR: tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu.
Câu 4: Cho 20 số tự nhiên \({a_1} < {a_2} < \ldots < {a_{20}}\) không quá 70. Chứng minh rằng giữa các hiệu \({a_j}-{a_k},1 \le k < j \le 20\) luôn tìm được ít nhất 4 hiệu bằng nhau.
Câu 5: Cho 2015 số thực. Biết rằng tổng 4 số tùy ý trong 2015 số đã cho lớn hơn tổng 3 số tùy ý trong 2011 số còn lại. Chứng minh rằng tổng của 3 số tùy ý trong 2015 số đã cho lớn hơn tổng 2 số tùy ý trong 2012 số còn lại.
Câu 6: Xét tập X = {2, 3,4, …, 2100}. Tô màu các phần tử của X bởi một trong 5 màu: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử phân biệt a, b, c của X cùng màu sao cho: a là bội của b và b là bội của c.
Câu 7: Chứng minh rằng , mọi bưu phí không nhỏ hơn 12 xu, đều có thể tạo ra bằng các con tem có mệnh giá 4 xu và 5xu.
Câu 8: Tại mỗi đỉnh của đa giác đều 11 cạnh ta ghi số bất kì trong các số \(31;32;61;62;91;92;331;332;361;362;961\) (mỗi số chỉ dùng một lần). Vậy có tồn tại ba đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của một tam giác cân và tổng các số ghi trên đỉnh là một số chia hết cho 3 không?
Câu 9: Mỗi đỉnh của một hình 7 cạnh đều được tô bằng một trong 2 màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng với mọi cách tô như thế, luôn tìm được một tam giác cân có các đỉnh được tô cùng màu.
Câu 10: Trong mặt phẳng cho 2n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, có n điểm màu đỏ và n điểm màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một cách nối tất cả các điểm đỏ với các điẻm xanh bởi n đoạn thẳng, mỗi đoạn có hai đầu mút khác màu, mà không có đoạn thẳng nào cắt nhau.
Trên đây là một phần trích của tài liệu 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Tổ hợp và rời rạc). Để xem toàn bộ nội dung và lời giải chi tiết các em vui lòng đăng nhập vào website Chúng tôi.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính. Chúc các em ôn tập thật tốt!
Các em quan tâm có thể xem thêm:
- 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Số học)
- 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Hình học)
Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi!
