Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$ được tính bởi công thức:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$được tính bởi công thức:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$

Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Bước 1: Giải phương trình $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ tìm nghiệm.

- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức $\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|$

- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.

A. $3\ln 6$

B. $3\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}$

C. $3\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}-2$

D.$3\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}-1$

Giải:

Đồ thị hàm số cắt Ox tại $\left(-1;0\right)$, cắt Oy tại $\left(0;-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

Hàm số $y={\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}$ có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{-3}{{\left(x-2\right)}^2}}<0,\mathrm{\forall }x\in \left(-1;0\right)$ nên hàm số $y={\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}$ nghịch biến trên $\left(-1;0\right)$.

Do đó $y<0,\mathrm{\forall }x\in \left(-1;0\right)$

Do đó $S=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left|{\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}\right|dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(-{\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}\right)dx=-\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(1+{\displaystyle \frac{3}{x-2}}\right)dx$

$=-\left(x+3\ln \left|x-2\right|{|}_{-1}^0\right)=-3\ln 2-1+3\ln 3=3\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}-1$

Chọn D.

Câu 1: Diện tích phẳng giới hạn bởi: x = -1; x = 2; y = 0; y = x² - 2x

A. $\frac{4}{3}$

B. 1

C. 0

D. $\frac{8}{3}$

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số (C): y = sin|x| và (D): y = |x| - $\pi$ là: S = a + b${\pi }^2$. Giá trị 2a + b³ là:

A. 24

B. $\frac{33}{2}$

C. $\frac{9}{8}$

D. 9

Câu 3: Hình phẳng giới hạn bởi y = x; y = x² có diện tích là:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{3}$

D. 1

Câu 4: Diện tích hình giới hạn bởi (P) y = x³ + 3, tiếp tuyến của (P) tại x = 2 và trục Oy là

A. $\frac{2}{3}$

B. 8

C. $\frac{8}{3}$

D. $\frac{4}{3}$

Câu 5: Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi Ox, Oy, y = cosx và $y=-\frac{2}{\pi }x+1$. Diện tích hình phẳng (S) là:

A. $2\pi$

B. $2+\frac{3\pi }{2}$

C. $\pi$

D. $1-\frac{\pi }{4}$

Câu 6: Cho parabol (P): y = x² + 1 và đường thẳng (d): y = mx + 2. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất?

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{3}{4}$

C. 1

D. 0

Câu 7: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y = x² - 3x và y = x bằng (đvdt)

A. $\frac{32}{3}$

B. $\frac{16}{3}$

C. $\frac{8}{3}$

D. 2

Câu 8: Diện tích hình phẳng giởi hạn bởi các đường cong y = x² + 2x và y = x + 6

A. $\frac{95}{6}$

B. $\frac{265}{6}$

C. $\frac{125}{6}$

D. $\frac{65}{6}$

Câu 9: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x³ - 3x; y = x; x = -2; x = 2. Vậy S bằng bao nhiêu ?

A. 4

B. 8

C. 2

D. 16

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = -x² + 4x - 3, x = 0, x = 3 và trục Ox là

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{10}{3}$

D. $\frac{8}{3}$

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!