Một số dạng toán ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

1. Dạng 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Ox\)

Công thức tính:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

2. Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = f\left( y \right)\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = a,y = b\left( {a < b} \right)\) quanh trục \(Oy\).

Công thức tính:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)

3. Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right],0 \le f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) quay quanh trục \(Ox\)

Công thức tính:

\(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right]dx} \)

4. Dạng 4 ( Đọc thêm ): Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng \(x = a,x = b\) biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục Ox là \(S = S\left( x \right)\).

Công thức tính:

\(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)

Khi miền \(D\) giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính.

Ví dụ: Cho đường cong \(y =  - {x^2} + 1\) và đường thẳng \(y = 0\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh \(Ox\).

Ta có: \( - {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\)

Thể tích: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( { - {x^2} + 1} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right)dx}  \)

\(= \pi \left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} - \dfrac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{{16\pi }}{{15}}\).

Câu 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x² và y = 0. Thì thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox có giá trị bằng?

A. \(\frac{16\pi }{15}\) (đvtt)

B. \(\frac{15\pi }{16}\) (đvtt)

C. \(\frac{5\pi }{6}\) (đvtt)

D. \(\frac{6\pi }{5}\) (đvtt)

Câu 2: Thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{x}^{2}}-4,y=2x-4,\,x=0,\,x=2\) quay quanh trục Ox bằng:

A. \(-\frac{32\pi }{5}\)

B. \(6\pi \)

C. \(-6\pi \)

D. \(\frac{32\pi }{5}\)

Câu 3: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{x}^{\frac{1}{2}}}.{{e}^{\frac{x}{2}}}\ ,\ x=1\ ,\ x=2\ ,\ y=0\text{ }\) quanh trục Ox là:

A. \(\pi ({{\text{e}}^{\text{2}}}+e)\)

B. \(\pi ({{\text{e}}^{\text{2}}}-e)\)

C. \(\pi {{\text{e}}^{\text{2}}}\)

D. \(\pi \text{e}\)

Câu 4: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{4}{x}\ ,\ y=0\ ,\ x=1\ ,\ x=4\) quanh trục Ox là:

A. \(6\pi \)

B. \(4\pi \)

C. \(\text{12}\pi\)

D. \(8\pi \)

Câu 5: Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y=\sin x;x=0; y=0\) và \(x=\pi \). Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình \(\left( H \right)\) quay quanh Ox bằng

A. \(2\pi \)

B. \(\frac{{{\pi }^{2}}}{2}\)

C. \(\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\)

D. \(\frac{\pi }{2}\)

Câu 6: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}\) và y=x quay xung quanh trục Ox. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. \(\pi\)

B. \(\frac{\pi }{6}\)

C. 0

D. \(-\pi \)

Câu 7: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}\ ,\ y=0\ ,\ y=2-x\) quanh trục ox là:

A. \(\frac{7\pi }{12}\)

B. \(6\pi \)

C. \(\frac{13\pi }{3}\)

D. \(\frac{6\pi }{5}\)

Câu 8: Thể tích vật thể tròn xoang khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(\mathrm{y= }{{\mathrm{x}}^{2}};\,x={{y}^{2}}\) quanh trục ox là

A. \(\frac{\pi \sqrt{2}}{10}\)

B. \(\frac{4\pi }{3}\)

C. \(\frac{3\pi }{10}\)

D. \(\frac{\pi }{10}\)

Câu 9: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \({{\mathrm{y}}^{2}}\mathrm{=8}x\) và x = 2 quanh trục ox là:

A. \(12\pi \)

B. \(4\pi \)

C. \(16\pi \)

D. \(8\pi \)

Câu 10: Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=1-{{x}^{2}},\,\,y=0\) quanh trục ox có kết quả dạng \(\frac{a\pi }{b}\) khi đó a+b có kết quả là:

A. 11

B. 17

C. 31

D. 25

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Một số dạng toán ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!