Ứng dụng hình học không gian giải các bài toán thực tế

• Diện tích xung quanh của hình nón: \({{S}_{xq}}=\pi Rl\) với R là bán kính đáy, \(l\) là độ dài đường sinh.

• Thể tích khối nón: \(V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.h\) với R là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao

Với R là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao.

• Diện tích xung quanh của hình trụ: \({{S}_{xq}}=2\pi Rh\)

• Diện tích toàn phần của hình trụ: \({{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2{{S}_{day}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}.\)

• Thể tích khối trụ \(V=\pi {{R}^{2}}h\) ( chiều cao nhân diện tích đáy).

Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu, ta có:

• Diện tích mặt cầu: \(S=4\pi {{R}^{2}}.\)

• Thể tích khối cầu: \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}.\)

Ví dụ: Cho biết rằng hình chỏm cầu có công thức thể tích là \(\frac{\pi h\left( 3{{r}^{2}}+{{h}^{2}} \right)}{6}\) , trong đó \(h\) là chiều cao chỏm cầu và \(r\) là bán kính đường tròn bề mặt chỏm cầu ( bán kính này khác vớibán kính hình cầu ). Bài hỏi đặt ra là với một quả dưa hấu hình cầu, người ta dùng một cái ống khoét thủng một lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xuyên qua trái dưa như hình vẽ ( trong hình có AB là đường kính trái dưa). Biết rằng chiều cao của lỗ là \(12cm\)  ( trong hình trên, chiều cao này chính là độ dài HK ). Tính thể tích của phần dưa còn lại.

 A . \(200\pi c{{m}^{3}}\)                

B. \(96\pi c{{m}^{3}}\)                                

C. \(288\pi c{{m}^{3}}\)                              

D. \(144\pi c{{m}^{3}}\)

Lời giải

Đặt \(r\) là bán kính của hình cầu.

Chiều cao của lỗ là 12 nên chiều cao của chỏm cầu lag \(r-6.\)

Bán kính của chỏm cầu, cũng là bán kính đáy của hình trụ và là: \(\sqrt{{{r}^{2}}-36}\)

Thể tích hình trụ là \(12\pi \left( {{r}^{2}}-36 \right).\)

Thể tích 2 chỏm cầu: \(\frac{2\pi \left( r-6 \right)\left[ \left( 3\left( {{r}^{2}}-36 \right)+{{\left( r-6 \right)}^{2}} \right) \right]}{6}=\frac{\pi \left( r-6 \right)\left( 4{{r}^{2}}-12r-72 \right)}{3}\)

Thể tích cái lỗ là: \(12\pi \left( {{r}^{2}}-36 \right)+\frac{\pi \left( r-6 \right)\left( 4{{r}^{2}}-12r-72 \right)}{3}\)

\(=\pi \left( r-6 \right)\left[ 12\left( r+6 \right)+\frac{4{{r}^{2}}-12r-72}{3} \right]=\frac{\pi \left( r-6 \right)\left( 4{{r}^{2}}+24r+144 \right)}{3}=\frac{4\pi \left( {{r}^{3}}-{{6}^{3}} \right)}{3}=\frac{4\pi {{r}^{3}}}{3}-288\pi \)

Thể tích hình cầu là \(\frac{4\pi {{r}^{3}}}{3}\) nên thể tích cần tìm là : \(V=288\pi \) .

Chọn C.

Bài 1: Một chiếc hộp hình lập phương cạnh \(a\) bị khoét một khoảng trống có dạng là một khối lăng trụ với hai đáy là hai đường tròn nội tiếp của hai mặt đối diện của hình hộp. Sau đó, người ta dùng bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt của chiếc hộp lại như cũ, chỉ chừa lại khoảng trống bên trong. Tính thể tích của khoảng trống tạo bởi khối trụ này.

A . \(\pi {{a}^{3}}\)                          

B. \(\frac{1}{2}\pi {{a}^{3}}\)                                

C. \(\frac{1}{4}\pi {{a}^{3}}\)                           

D. \(\frac{1}{8}\pi {{a}^{3}}\)

Lời giải

Ta có \(OE=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}\) ;

\(\text{OO}'=a\)

Thể tích là:

 \(V=\pi .O{{E}^{2}}\text{.OO}'={{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}.\pi .a=\frac{\pi {{a}^{3}}}{4}.\)

Chọn C.

Bài 2: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối \(\left( H \right)\) như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 10, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14. Tính thể tích của \(\left( H \right).\)

A . \({{V}_{\left( H \right)}}=192\pi \)                     

B. \({{V}_{\left( H \right)}}=275\pi \)   

C. \({{V}_{\left( H \right)}}=704\pi \)              

D. \({{V}_{\left( H \right)}}=176\pi \)

Lời giải

Thật ra phần phía trên tính từ A là một nữa của hình trụ có chiều cao AB và bán kính O’B.

Ta xét trên mặt thiết diện qua trục của khối trụ và trục dài của eip có:

\(\begin{align} & 2R=BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{10}^{2}}-{{\left( 14-8 \right)}^{2}}}=8\Rightarrow R=4 \\ \end{align}\)

\(V=\pi {{R}^{2}}.14-\frac{\pi {{R}^{2}}.\left( 14-8 \right)}{2}=176\pi \)

Chọn D.

Bài 3: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tấm tôn  có kích thước \(1m\times 20cm\) (biết giá \(1{{m}^{2}}\) tôn là 90000 đồng bằng 2 cách:

Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành 1 hình trụ như hình 1.

Cách 2: Chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần rồi gò tấm tôn thành 1 hình hộp chữ nhật như hình 2.

Biết sau khi xây xong bể theo dự định, mức nước chỉ đổ đến 0,8m và giá nước cho đơn vị sự nghiệp là \(9955đ/{{m}^{3}}\) . Chi phí trong tay thầy hiệu trưởng là 2 triệu đồng. Hỏi thầy giáo sẽ chọn cách làm nào để không vượt quá kinh phí (giả sử chỉ tính đến các chi phí theo dữ kiện trong bài toán).

A . Cả 2 cách như nhau    

B. Không chọn cách nào                    

C. Cách 2 

D. Cách 1

Lời giải

Ở cách 2:

\(1{{m}^{2}}\to 90.000\)                               

\(20{{m}^{2}}\to 1.800.000\)

Ta có \({{V}_{nuoc}}=0,8.6.4=19,2{{m}^{3}}\)

Do đó tổng tiền ở phương án 2 là \(19,2.9955+20.90000=1.991.136.\)

Ở cách 2:

\(20{{m}^{2}}\to 1.800.000\)

Ta có \(20=2\pi r\Rightarrow r=\frac{10}{\pi }\Rightarrow {{V}_{nuoc}}=h\pi {{r}^{2}}=0,8.\pi .{{\left( \frac{10}{\pi } \right)}^{2}}\approx 25,46{{m}^{3}}\)

Do đó tiền nước: 253.454 đồng

Tổng tiền: 2.053.454 đồng.

Vậy thầy nên chọn cách 2.

Chọn C.

Bài 4: Cho một khối cầu bán kính R. Đâm thủng khối cầu bởi một khối trụ có trục đi qua tâm mặt cầu và chiều dài hình trụ thu được là 6 (xem hình vẽ). Tính thể tích vật thể còn lại sau khi đục thủng.

A . \(36\pi \)                            

B. \(54\pi \)                             

C. \(27\pi \)                             

D. \(288\pi \)

Lời giải

Gọi bán kính khối trụ là \(r.\)

Khi đó \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-9}\) và hai chỏm

cầu có chiều cao là \(h=R-3\) .

Thể tích vật thể còn lại là

\(V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}-6\pi \left( {{R}^{2}}-9 \right)-\frac{\pi \left( R-3 \right)\left[ 3\left( {{R}^{2}}-9 \right)+{{\left( R-3 \right)}^{2}} \right]}{3}=36\pi \)

Nhận xét: Kết quả không phụ thuộc vào bán kính R mà chỉ phụ thuộc vào chiều dài của hình trụ.

Chọn A.

Bài 5: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không kể viền, mép , phần thừa).

A . \(700\pi \left( c{{m}^{2}} \right)\)    

B. \(754,25\pi \left( c{{m}^{2}} \right)\)                              

C. \(750,25\pi \left( c{{m}^{2}} \right)\)   

D. \(756,25\pi \left( c{{m}^{2}} \right)\)

Lời giải

\({{S}_{hinh\,tron}}=\pi {{R}^{2}}=\pi {{\left( \frac{35}{2} \right)}^{2}}\) 

\({{S}_{xq\,lang\,tru}}=2\pi rl=2\pi \left( \frac{35-20}{2} \right).30=450\pi \)

\(S=\pi \left[ {{\left( \frac{35}{2} \right)}^{2}}+450 \right]=756,25\pi .\)

Chọn D.

Bài 6:

Một bang giấy dài được cuộn chặt lại thành nhiều vòng xung quanh một ống lõi hình trụ rỗng có đường kính \(C=12,5mm.\) Biết độ dày của giấy cuộn là \(0,6mm\) và đường kính cả cuộn giấy là \(B=44,9mm.\) Tính chiều dài \(l\) của cuộn giấy.

A . \(L\approx 44m\)                          

B. \(L\approx 38m\)                           

C. \(L\approx 4m\)     

D. \(L\approx 24m\)

Lời giải

Gọi chiều rộng của băng giấy là \(r\), chiều dài băng giấy là L độ dày của giấy là \(m\) khi đó ta có thể tích của băng giấy: \(V=r.m.L\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Khi  cuộn lại ta cũng có thể tích: \(V=\pi {{\left( \frac{B}{2} \right)}^{2}}.m-\pi {{\left( \frac{C}{24} \right)}^{2}}.m=\frac{\pi }{4}r\left( {{B}^{2}}-{{C}^{2}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra: \(m.r.L=\frac{\pi }{4}r\left( {{B}^{2}}-{{C}^{2}} \right)\Rightarrow L=\frac{\pi }{4m}\left( {{B}^{2}}-{{C}^{2}} \right)\)

Bài 7: Xét một hình trụ nội tiếp tronh hình nón như hình bên dưới , trong đó S là đỉnh hình nón, O là tâm đường tròn mặt đáy. Các đoạn AB, CD lần lượt là đường kính của đường tròn đáy của hình nón và hình trụ ; AC, BD cắt nhau tại điểm \(M\in SO.\) Biết rằng tỉ số thể tích của hình trụ và hình nón là \(\frac{4}{9}.\) Tính tỷ số \(\frac{SM}{SO}.\)

A . \(\frac{7}{9}\)                                         

B. \(\frac{2}{3}\)   

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(\frac{5}{6}\)

Lời giải

Ta có: \(\frac{4}{9}=\frac{{{V}_{ht}}}{{{V}_{hn}}}=3{{\left( \frac{SD}{SA} \right)}^{2}}.\frac{{{h}_{ht}}}{{{h}_{hn}}}=3{{\left( \frac{SD}{SA} \right)}^{2}}.\left( 1-\frac{SD}{SA} \right)\Rightarrow \frac{SD}{SA}=\frac{2}{3}\)

Theo định lý \(Menelauyt\) đối với tam giác \(SOB\) ta có:

\(\frac{AO}{AB}.\frac{CB}{CS}.\frac{MS}{MO}=1\) do đó \(\frac{MS}{MO}=4\) hay \(\frac{SM}{MO}=\frac{4}{5}.\)

Chọn C.

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Ứng dụng hình học không gian giải các bài toán thực tế. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Ứng dụng tích phân giải bài toán vật lý và bài toán thực tế

• 32 bài tập trắc nghiệm về Ứng dụng thực tế diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay Toán 12 có đáp án

Chúc các em học tập tốt!