TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM ĐA THỨC – HỮU TỈ – CĂN THỨC TOÁN 11 CÓ ĐÁP ÁN
A. Lý thuyết
I. Đạo hàm của một số hàm thường gặp
ĐỊNH LÍ 1
Hàm số \(y = f(x)(x \in N,x > 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in R\):
\({({x^n})^\prime } = n.{x^{n - 1}}\)
Nhận xét:
a. Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: \({(c)^\prime } = 0\)
b. Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1: \({(x)^\prime } = 1\)
ĐỊNH LÍ 2
Hàm số \(y = \sqrt x \) có đạo hàm tại mọi x dương:
\({(\sqrt x )^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
II. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
1. Định lí
ĐỊNH LÍ 3
Giả sử \(u = u(x),v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
\({(u + v)^\prime } = u' + v'\)
\({(u - v)^\prime } = u' - v'\)
\({(uv)^\prime } = u'v + uv'\)
\({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}(v = v(x) \ne 0)\)
2. Hệ quả
HỆ QUẢ 1
Nếu k là một hằng số thì \({(ku)^\prime } = ku'\)
HỆ QUẢ 2
\(\frac{1}{v} = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}(v = v(x) \ne 0)\)
III. Đạo hàm của hàm hợp
ĐỊNH LÍ 4
Nếu hàm số \(y = g(x)\) có đạo hàm tại x là \({u'_x}\) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là \({y'_u}\) thì hàm hợp \(y = f(g(x))\) có đạo hàm tại x là
\({y'_x} = {y'_u}.{u'_x}\)
Bảng tóm tắt
\({(u + v - w)^\prime }=u'+v'+w'\)
\({(ku)^\prime }=ku'\) (k là hằng số)
\((uv)'=u'v+uv'\)
\({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}(v = v(x) \ne 0)\)
\(\frac{1}{v} = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}(v = v(x) \ne 0)\)
\({y'_x}={y'_u}.{u'_x}\)
B. Bài tập
Câu 1: Cho hàm số y = \(\frac{{ - {x^2} + 2x - 3}}{{x - 2}}\) . Đạo hàm y’ của hàm số là
A. \(- 1 - \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}}\)
B. \(1 + \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}}\)
C. \( - 1 + \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}}\)
D. \(1 - \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}}\)
Câu 2: Cho hàm số y = \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) . Đạo hàm y’ của hàm số là
A. \(\frac{x}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
B. \( - \frac{x}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
C. \(\frac{x}{{2({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
D. \( - \frac{{x({x^2} + 1)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Câu 3: Cho hàm số f(x) = \(\sqrt[3]{x}\). Giá trị f’(8) bằng:
A. \(\frac{1}{6}\)
B. \(\frac{1}{12}\)
C. \(-\frac{1}{6}\)
D. \(-\frac{1}{12}\)
Câu 4: Cho hàm số f(x) = \(\sqrt {x - 1} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}\). Để tính f’, hai học sinh lập luận theo hai cách:
(I) f(x) = \(\frac{x}{{\sqrt {x - 1} }} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{2\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}\)
(II) f’(x) = \(\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{2\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }} = \frac{{x - 2}}{{2\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}\)
Cách nào đúng?
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II)
C. Cả hai đều sai
D. Cả hai đều đúng
Câu 5: Cho hàm số \(y = \frac{3}{{1 - x}}\). Để y' < 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?
A. 1
B. 3
C. ø
D. R
Câu 6: Cho hàm số f(x) = \(\sqrt {x - 1} \). Đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:
A. \(\frac{1}{2}\)
B. 1
C. 0
D. Không tồn tại
Câu 7: Cho hàm số y = \(\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x + 2}}\). Đạo hàm y’ của hàm số là
A. \(1+\frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\)
B. \(\frac{{{x^2} + 6x + 7}}{{{{(x + 2)}^2}}}\)
C. \(\frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{{(x + 2)}^2}}}\)
D. \(\frac{{{x^2} + 8x + 1}}{{{{(x + 2)}^2}}}\)
Câu 8: Cho hàm số \(f(x) = \frac{{1 - 3x + {x^2}}}{{x - 1}}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'(x) > 0\) là
A. R\{1}
B. ø
C. \(\left( {1; + \infty } \right)\)
D. R
Câu 9: Đạo hàm của hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} + x + 1\) là:
A. \(y' = 4{x^3} - 6{x^2} + 1.\)
B. \(y' = 4{x^3} - 6{x^2} + x.\)
C. \(y' = 4{x^3} - 3{x^2} + x.\)
D. \(y' = 4{x^3} - 3{x^2} + 1.\)
Câu 10: Hàm số nào sau đây có \(y' = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\)?
A. \(y = \frac{{{x^3} + 1}}{x}\)
B. \(y = \frac{{3({x^2} + x)}}{{{x^3}}}\)
C. \(y = \frac{{{x^3} + 5x - 1}}{x}\)
D. \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{x}\)
