1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:
-
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
-
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k \(\ge\) 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n \(\ge\) p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k \(\ge\) p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
2. Dãy số
\(\begin{align} & u:\mathbb{N}*\to \mathbb{R} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,n\,\,\mapsto \,u(n) \\ \end{align}\)
Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …
Ví dụ: Cho dãy số \(({{u}_{n}})\) xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3{\rm{ }}\forall n \ge 2 \end{array} \right.\). Viết năm số hạng đầu của dãy;
A. 1;5;13;28;61
B. 1;5;13;29;61
C. 1;5;17;29;61
D. 1;5;14;29;61
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
\({{u}_{1}}=1;\)\({{u}_{2}}=2{{u}_{1}}+3=5\); \({{u}_{3}}=2{{u}_{2}}+3=13;\text{ }{{u}_{4}}=2{{u}_{3}}+3=29\)
\({{u}_{5}}=2{{u}_{4}}+3=61\).
3. Bài tập
Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: \(-1,3,19,53\). Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A. \({{u}_{10}}=97\)
B. \({{u}_{10}}=71\)
C. \({{u}_{10}}=1414\)
D. \({{u}_{10}}=971\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Xét dãy \(({{u}_{n}})\) có dạng: \({{u}_{n}}=a{{n}^{3}}+b{{n}^{2}}+cn+d\)
Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} a + b + c + d = - 1\\ 8a + 4b + 2c + d = 3\\ 27a + 9b + 3c + d = 19\\ 64a + 16b + 4c + d = 53 \end{array} \right.\)
Giải hệ trên ta tìm được: \(a=1,b=0,c=-3,d=1\)
\(\Rightarrow {{u}_{n}}={{n}^{3}}-3n+1\) là một quy luật.
Số hạng thứ 10: \({{u}_{10}}=971\).
Câu 2: Cho dãy số\(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{n}}=\frac{a{{n}^{2}}}{n+1}\) (a: hằng số).\({{u}_{n+1}}\) là số hạng nào sau đây?
A. \({{u}_{n+1}}=\frac{a.{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{n+2}\).
B. \({{u}_{n+1}}=\frac{a.{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{n+1}\).
C. \({{u}_{n+1}}=\frac{a.{{n}^{2}}+1}{n+1}\).
D. \({{u}_{n+1}}=\frac{a{{n}^{2}}}{n+2}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \({{u}_{n+1}}=\frac{a.{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{\left( n+1 \right)+1}=\frac{a{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{{{\left( n+2 \right)}^{2}}}\).
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(5;10;15;20;25;...\) Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. \({{u}_{n}}=5(n-1)\).
B. \({{u}_{n}}=5n\).
C. \({{u}_{n}}=5+n\).
D. \({{u}_{n}}=5.n+1\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
5=5.1
10=5.2
15=5.3
20=5.4
25=5.5
Suy ra số hạng tổng quát \({{u}_{n}}=5n\).
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(8,15,22,29,36,...\).Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. \({{u}_{n}}=7n+7\).
B. \({{u}_{n}}=7.n\).
C. \({{u}_{n}}=7.n+1\).
D. \({{u}_{n}}\): Không viết được dưới dạng công thức.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
8=7.1+1
15=7.2+1
22=7.3+1
29=7.4+1
36=7.5+1
Suy ra số hạng tổng quát \({{u}_{n}}=7n+1\).
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};...\). Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. \({{u}_{n}}=\frac{n+1}{n}\).
B. \({{u}_{n}}=\frac{n}{n+1}\).
C. \({{u}_{n}}=\frac{n-1}{n}\).
D. \({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-n}{n+1}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
\(0=\frac{0}{0+1}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}\)
\(\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1}\)
\(\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1}\)
\(\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1}\)
Suy ra \({{u}_{n}}=\frac{n}{n+1}\).
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(0,1;0,01;0,001;0,0001;...\). Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. \({{u}_{n}}=\underbrace{0,00...01}_{n\text{ ch }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{o}}\!\!\text{ so }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ }0}\).
B. \({{u}_{n}}=\underbrace{0,00...01}_{n-1\text{ ch }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{o}}\!\!\text{ so }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ }0}\).
C. \({{u}_{n}}=\frac{1}{{{10}^{n-1}}}\).
D. \({{u}_{n}}=\frac{1}{{{10}^{n+1}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có:
Số hạng thứ 1 có 1 chữ số 0
Số hạng thứ 2 có 2 chữ số 0
Số hạng thứ 3 có 3 chữ số 0
…………………………….
Suy ra \({{u}_{n}}\) có n chữ số 0.
Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là:\(-1;1;-1;1;-1;...\). Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
A. \({{u}_{n}}=1\).
B. \({{u}_{n}}=-1\).
C. \({{u}_{n}}={{(-1)}^{n}}\).
D. \({{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
Các số hạng đầu của dãy là \({{\left( -1 \right)}^{1}};{{\left( -1 \right)}^{2}};{{\left( -1 \right)}^{3}};{{\left( -1 \right)}^{4}};{{\left( -1 \right)}^{5}};...\Rightarrow {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\).
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(-2;0;2;4;6;...\). Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. \({{u}_{n}}=-2n\).
B. \({{u}_{n}}=\left( -2 \right)+n\).
C. \({{u}_{n}}=\left( -2 \right)(n+1)\).
D. \({{u}_{n}}=\left( -2 \right)+2\left( n-1 \right)\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là \(\left( -2 \right)\) nên \({{u}_{n}}=\left( -2 \right)+2.\left( n-1 \right)\).
Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(\frac{1}{3};\frac{1}{{{3}^{2}}};\frac{1}{{{3}^{3}}};\frac{1}{{{3}^{4}}};\frac{1}{{{3}^{5}}};\)….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
A. \({{u}_{n}}=\frac{1}{3}\frac{1}{{{3}^{n+1}}}\).
B. \({{u}_{n}}=\frac{1}{{{3}^{n+1}}}\).
C. \({{u}_{n}}=\frac{1}{{{3}^{n}}}\).
D. \({{u}_{n}}=\frac{1}{{{3}^{n-1}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
5 số hạng đầu là \(\frac{1}{{{3}_{1}}};\frac{1}{{{3}^{2}}};\frac{1}{{{3}^{3}}};\frac{1}{{{3}^{4}}};\frac{1}{{{3}^{5}}};...\) nên \({{u}_{n}}=\frac{1}{{{3}^{n}}}\).
Câu 10: Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 5\\ {u_{n + 1}} = {u_n} + n \end{array} \right.\). Số hạng tổng quát \({{u}_{n}}\) của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A. \({{u}_{n}}=\frac{(n-1)n}{2}\).
B. \({{u}_{n}}=5+\frac{(n-1)n}{2}\).
C. \({{u}_{n}}=5+\frac{(n+1)n}{2}\).
D. \({{u}_{n}}=5+\frac{(n+1)(n+2)}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có \({{u}_{n}}=5+1+2+3+...+n-1=5+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm số hạng của dãy số Toán 11. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
