Một số kiến thức Toán học áp dụng giải bài tập Sinh học trong kỳ thi THPT QG

MỘT SỐ KIẾN THỨC TOÁN HỌC ÁP DỤNG GIẢI BÀI TẬP SINH HỌC TRONG KỲ THI THPT QG

1. Hai qui tắc đếm cơ bản:

a. Qui tắc cộng:

Khi một công việc của bạn có thể thực hiện theo nhiều phương án (trường hợp), mỗi phương án (trường hợp) lại có nhiều cách thì số cách thực hiện công việc của bạn là tổng số cách của tất cả các trường hợp.

Ví dụ: Một cặp vợ chồng sinh được 3 người con trong số đó có 2 người con trai và một người con gái. Hỏi có bao nhiêu trường hợp sinh có thẻ xảy ra đối với cặp vợ chồng này?

Hướng dẫn giải

• Trường hợp 1: Thứ tự sinh con là con trai → con trai → con gái.
• Trường hợp 2: Thứ tự sinh con là con trai → con gái → con trai.
• Trường hợp 3: Thứ tự sinh con là con gái → con trai → con trai.
• Vậy có tất cả 3 trường hợp sinh con của cặp vợ chồng này.

b. Qui tắc nhân:

Khi một công việc của bạn bao gồm nhiều giai đoạn, mỗi giai đoạn lại có nhiều cách thì số cách thực hiện đó là tích số cách của tất cả các giai đoạn.

Ví dụ: Một cơ thể có 2n = 8, trên mỗi cặp NST xét một locut có 2 alen, kiểu gen được xét nha sau AaBbDDee. Quá trình giảm phân bình thường và không xảy ra hoán vị gen. Số loại giao tử tối đa về kiểu gen này mà cơ thể có thể tạo ra là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Nhận xét, giao tử của cơ thể này có chứa mỗi alen trong một locut. Xác định số loại giao tử tối đa của cơ thể là một công việc gồm 4 giai đoạn, mỗi giai đoạn ta tính số loại giao tử tối đa có ở mỗi locut gen.

• Giai đoạn 1: Xét locut đầu tiên là Aa → số loại giao tử tạo ra là 2 loại (A và a).
• Giai đoạn 2: Xét locut Bb → số loại giao tử tạo ra là 2 loại (B và b).
• Giai đoạn 3: Xét locut DD → số loại giao tử tạo ra là 1 loại (D).
• Giai đoạn 4: Xét locut ee → số loại giao tử tạo ra là 1 loại (e).
• Áp dụng qui tắc nhân: Số loại giao tử tối đa mà cơ thể này có thể tạo ra là 2 x 2 x 1 x 1 = 4 loại. Thật vậy, thể này có thể tạo ra 4 loại giao tử đó là ABDe; AbDe; aBDe; abDe.

Ứng dụng của qui tắc cộng trong giải bài tập sinh học:

• Tính tỉ lệ của các bộ ba trong bài tập di truyền phân tử.
• Tính số loại giao tử và tỉ lệ các loại giao tử trong di truyền tế bào.
• Tính số loại kiểu hình và tỉ lệ của các loại kiểu hình trong bài tập qui luật di truyền

2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

a. Sắp xếp tất cả: Hoán vị (không lặp)

Khi sắp xếp n phần tử của tập hợp A theo một thứ tự, ta được một hoán vị của A. Công thức tính số hoán vị: \({P_n} = n! = n(n - 1)(n - 2)...3 \times 2 \times 1\).

Ví dụ: Có 5 axit amin khác nhau là Ala, Val, Phe, His và Arg. Hỏi có tất cả bao nhiêu chuỗi pentapeptit gồm 5 axit amin khác nhau?

Hướng dẫn giải

Pentapeptit là chuỗi peptit có 5 axit amin. Mỗi cách sắp xếp 5 axit amin này là một hoán vị của 5. Do đó, số chuỗi pentapeptit gồm 5 axit amin khác nhau là \({P_5} = 5! = 120.\)

b. Chọn ra và sắp xếp: Chỉnh hợp (không lặp)

Chọn ra và sắp xếp k phần tử theo một thứ tự trong tổng n phần tử của tập hợp A, ta được một chỉnh hợp chập k của A \(\left( {0 \le k \le n} \right).\) Công thức tính số chỉnh hợp: \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\)

Ví dụ: Từ 4 loại ribonucleotit là A, U, G, X. Có bao nhiêu bộ ba mã hóa axit amin được hình thành từ 3 loại ribonucleotit khác nhau trong số 4 loại nucleotit này?

Hướng dẫn giải

Chúng ta sẽ chọn ra 3 loại ribonucleotit trong số 4 loại ribonucleotit này và sắp xếp lại thứ tự 3 loại ribonucleotit này → ta được một chỉnh hợp chập 3 của 4 (thí dụ chọn 3 loại A, X, G và sắp xếp lại sẽ có các bộ ba sau: AXG, AGX, XAG, XGA, GAX, GXA)

• Số bộ ba được hình thành từ 3 ribonucleotit trong số 4 ribonucleotit là \(A_4^3 = 24\) (bấm máy tính)
• Tuy nhiên có 3 bộ ba kết thúc không mã hóa axit amin là UAA, UAG, UGA → có 2 bộ ba mang 3 ribonucleotit khác nhau và không mã hóa axit amin.
• Vậy số bộ ba mã hóa axit amin được hình thành từ 3 loại ribonucleotit khác nhau trong số 4 ribonucleotit này \(24 - 2 = 22.\)

Ví dụ: Một loài thực vật có bộ nhiễm sắc thể \(2n = 14\). Số loại thể đột biến đồng thời chứa thể một nhiễm đơn và thể ba nhiễm đơn có thể có ở loài này là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

• Thể ba nhiễm đơn là thể đột biến trong bộ NST có 1 cặp NST mang 3 chiếc NST.
• Thể một nhiễm đơn là thể đột biến trong bộ NST có 1 cặp NST chỉ mang 1 chiếc NST.
• Chúng ta sẽ chọn ra 2 cặp NST trong 7 cặp NST và sắp xếp vị trí 2 loại thể đột biến này. Ví dụ, ta chọn ra 2 cặp NST là cặp số 3 và 5 → như vậy có 2 trường hợp có thể xảy ra: cặp 3 là thể một, cặp 5 là thể 3; hoặc ngược lại: cặp 3 là thể 3, cặp 5 là thể một.
• Vậy số loại thể đột biến đồng thời chứa thể một nhiễm đơn và thể ba nhiễm đơn có thể có ở loài này là \(A_7^2 = 42\)

c. Chọn ra và không sắp xếp: Tổ hợp (không lặp)

Chọn ra và không sắp xếp k phần tử trong n phần tử của tập hợp A, ta được một tổ hợp chập k của A \(\left( {0 \le k \le n} \right).\) Công thức tính số chỉnh hợp: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \times (n - k)!}}\) Tính chất của tổ hợp bạn có thể thường sử dụng là \(C_n^k = C_n^{n - k}\)

Ví dụ: Kết hợp một phép lai thu được một kiểu hình như sau: 6 cây hoa đỏ và 3 cây hoa trắng. Một người cần chọn ra 2 cây hoa đỏ và 1 cây hoa trắng để làm thí nghiệm. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Hướng dẫn giải

Đây là một công việc gồm có 2 giai đoạn, chọn 2 cây hoa đỏ trong số 6 cây hoa đỏ và chọn 1 cây hoa trắng trong số 3 cây hoa trắng.

• Số cách chọn 2 cây hoa đỏ là \(C_6^2 = 15\)
• Số cách chọn 1 cây hoa trắng \(C_3^1 = 3\)
• Áp dụng qui tắc nhân: Số cách chọn ra 2 cây hoa đỏ và 1 cây hoa trắng là \(15 \times 3 = 45\)

Ví dụ: Một loài thực vật có bộ nhiễm sắc thể \(2n = 14\). Số loại thể ba kép \((2n + 1 + 1)\) có thể có ở loài này là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

• Thể ba kép là thể đột biến trong bộ NST có 2 cặp NST khác nhau mà ở mỗi cặp mang 3 chiếc NST.
• Chúng ta sẽ chọn ra 2 cặp NST và không sắp xếp vị trí 2 cặp NST này trong số 7 cặp NST của loài.
• Vậy số loại thể ba kép \((2n + 1 + 1)\) có thể có ở loài này \(C_7^2 = 21\)

* Ngoài ra còn có các trường hợp: hoán vị lặp, chỉnh hợp lặp, tổ hợp lặp nhưng tác giả không đề cập trong cuốn sách này vì chương trình toán học Đại số 11 của các bạn chưa được học đến các phần này.

3. Xác suất trong sinh học:

Phép thử là một thí nghiệm hay một hành động mà ta không đoán được kết quả của nó nhưng có thể biết được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của nó. Không gian mẫu \(\left( \Omega \right)\) là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Biến cố A là việc xảy ra hay không xảy ra tùy thuộc vào kết quả của T. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A kí hiệu là \({\Omega _A}\). Công thức tính xác suất của biến cố A là: \(P = \frac{{\left| \Omega \right|}}{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}(0 \le P \le 1)\)

a. Quy tắc cộng xác suất:

Khi giải các bài tập sinh học, bạn sẽ bắt gặp yêu cầu của đề bài tính xác suất của một sự việc. Sự việc này có nhiều trường hợp xảy ra (và nếu trường hợp này xảy ra thì trường hợp kia không xảy ra) thì xác suất cần tính chính là tổng xác suất của tất cả các trường hợp.

Ví dụ: Ở một loài thực vật, alen A quy định hoa đỏ là trội hoàn toàn so với alen a quy định hoa trắng. Cho cây hoa đỏ dị hợp tự thụ phấn thu được F1.

a. Lấy ngẫu nhiên một cây F1, xác suất thu được một cây hoa đỏ là bao nhiêu?

b. Lấy ngẫu nhiên một cây hoa đỏ trong số những cây F1, xác suất thu được một cây hoa đỏ đồng hợp là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có phép lai: \(P:{\rm{Aa }} \times {\rm{ Aa}} \to {\rm{25\% AA : 50\% Aa : 25\% aa}}\)

a) Cây hoa đỏ ở F1 có 2 kiểu gen đó là \({\rm{AA}} = 25\% \) và \({\rm{Aa}} = 50\% \). Tính xác xuất cây hoa đỏ ở F1 chính là xác suất của 2 kiểu gen này. Như vậy, ta có 2 trường hợp.

Áp dụng qui tắc cộng xác suất:

Xác suất thu được một cây hoa đỏ \((A\_) = 25\% + 50\% = 75\%.\)

b) Xác suất cây hoa đỏ đồng hợp trong số những cây hoa đỏ ở F1 là \(25\% :75\% = \frac{1}{3}\)

b. Quy tắc nhân xác suất:

Khi tính xác suất của một sự việc gồm nhiều giai đoạn (và các giai đoạn này độc lập với nhau, tức giai đoạn này xảy ra hay không xảy ra thì không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của giai đoạn khác) thì xác suất cần tìm chính là tích xác suất của tất cả các giai đoạn.

Ví dụ: Một cơ thể có  \(2n = 8,\)trên mỗi cặp NST xét một locut có 2 alen, kiểu gen được xét như sau AaBbDdEe. Quá trình giảm phân bình thường và không xảy ra hoán vị gen. Tỉ lệ loại giao tử chứa 4 alen trội là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Giao tử chứa 4 alen trội chính là giao tử ABDE

Nhận xét, giao tử ABDE chứa mỗi alen trong một locus. Xác định tỉ lệ của giao tử này chính là một công việc gồm 4 giai đoạn, mỗi giai đoạn ta xác định tỉ lệ của giao tử tại mỗi locus.

• Giai đoạn 1: Tỉ lệ của giao tử \(A = \frac{1}{2}\)
• Giai đoạn 2: Tỉ lệ của giao tử \(B = \frac{1}{2}\)
• Giai đoạn 3: Tỉ lệ của giao tử \(D = \frac{1}{2}\)
• Giai đoạn 4: Tỉ lệ của giao tử \(E = \frac{1}{2}\)
• Áp dụng qui tắc nhân xác suất: tỉ lệ giao tử \(ABDE = \frac{1}{2}A \times \frac{1}{2}B \times \frac{1}{2}D \times \frac{1}{2}E = \frac{1}{{16}}\)

4. Cấp số:

a. Cấp số cộng:

Cấp số cộng là một dãy số thỏa mãn điều kiện hai phần tử liên tiếp sai khác một hằng số. Hằng số sai khác chung được gọi là công sai của cấp số cộng. Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử u1 và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\) Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n. Ta có \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{n({u_1} + {u_2})}}{2} = \frac{{n \times \left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}{\rm{ }}\left( {n \ge 1} \right)\)

Ví dụ: Một phân tử ADN có chiều dài 15300 A⁰, đoạn ADN này có một số gen lần lượt dài hơn nhau 255 A⁰. Biết rằng gen ngắn nhất có chiều dài là 2550 A⁰. Hãy tìm số gen chứa trong đoạn ADN đó.

Hướng dẫn giải

Gọi n là số gen có trong phân tử ADN.

Đến đây, ta có thể xem bài toán là tổng một cấp số cộng với số hạng đầu là \({u_1} = 2550,\) công sai \(d = 255;\) tổng là \(S = 15300\)

Áp dụng công thức cấp số cộng: \({S_n} = \frac{{n \times \left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}{\rm{ }}\)

Ta có: \(15300 = \frac{{n \times \left[ {2 \times 2550 + (n - 1) \times 255} \right]}}{2} \Leftrightarrow {\rm{n = 5 }}\)

b. Cấp số nhân:

Cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện tỷ số của hai phần tử liên tiếp là một hằng số. Tỷ số này được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu cấp số nhân khởi đầu là phần tử u1 và công bội là q, thì số hạng thứ n của cấp số nhân được tính theo công thức: \({u_n} = {u_1} \times {q^{n - 1}}\) Tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân được tính theo công thức: \({S_n} = \frac{{{u_1} \times (1 - {q^n})}}{{1 - q}}{\rm{ }}\left( {q \ne 1} \right)\)

Ví dụ: Tổng số liên kết hydro bị phá vỡ, được hình thành và tổng số liên kết hóa trị được hình thành qua cả quá trình tái bản ADN được tính theo công thức của tổng cấp số nhân.

Lần nhân đôi	Số liên kết hydro		Số liên kết hóa trị
	Bị phá vỡ	Được hình thành	Bị phá vỡ	Được hình thành
Lần 1	\(H \times {2^0}\)	\(H \times {2^1}\)	0	\(HT \times {2^0}\)
Lần 2	\(H \times {2^1}\)	\(H \times {2^2}\)	0	\(HT \times {2^1}\)
Lần 3	\(H \times {2^2}\)	\(H \times {2^3}\)	0	\(HT \times {2^2}\)
…	…	…	…	…
Lần n	\(H \times {2^{n - 1}}\)	\(H \times {2^{n }}\)	0	\(HT \times {2^{n - 1}}\)
Cả n lần	\(H \times \left( {{2^n} - 1} \right)\)	\(H \times \left( {{2^n} - 1} \right) \times 2\)	0	\(HT \times \left( {{2^n} - 1} \right)\)

5. Các công thức về lũy thừa, logarit:

{-- Nội dung phần 5: các công thức về lũy thừa, logarit của tài liệu Một số kiến thức Toán học áp dụng giải bài tập Sinh học trong kỳ thi THPT QG vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}

6. Công thức tính thể tích khối cầu, khối trụ tròn, khối lập phương:

{-- Nội dung phần 6: công thức tính thể tích khối cầu, khối trụ tròn, khối lập phương của tài liệu Một số kiến thức Toán học áp dụng giải bài tập Sinh học trong kỳ thi THPT QG vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}