1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;b} \right)\) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
Định nghĩa: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là có đạo hàm tại \(x = {x_0}\), kí hiệu \(f'\left( {{x_0}} \right)\) nếu giới hạn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = f'\left( {{x_0}} \right)\) tồn tại hữu hạn.
Ở đó, \(\Delta x = x - {x_0}\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0}\).
\(\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) là số gia của hàm số.
Ta thường hay sử dụng công thức \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) để tính số gia của hàm số ứng với số gia \(\Delta x\) tại điểm \({x_0}\).
Ví dụ: Tính số gia của hàm số \(y = {x^2}\) ứng với số gia \(\Delta x\) của biến số tại điểm \({x_0} = - 2\).
Ta có: \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - x_0^2 = x_0^2 + 2{x_0}.\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} - x_0^2 = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}.\Delta x\)
Vậy tại \({x_0} = - 2\) thì \(\Delta y = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2{x_0}.\Delta x = {\left( {\Delta x} \right)^2} + 2\left( { - 2} \right).\Delta x = {\left( {\Delta x} \right)^2} - 4\Delta x\).
2. Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:
- Bước 1: Tính \(f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)
- Bước 2: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}\) tại điểm \({x_0} = - 2\).
- Bước 1: Ta có: \(f\left( x \right) - f\left( { - 2} \right) = {x^2} - {\left( { - 2} \right)^2} = {x^2} - 4\)
- Bước 2:
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - \left( { - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 2 - 2 = - 4\)
Vậy \(f'\left( { - 2} \right) = - 4\).
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) thì nó liên tục tại điểm \({x_0}\).
Ngược lại, hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) thì chưa chắc đã có đạo hàm tại \({x_0}\).
Ví dụ: Xét hàm số \(y = \left| x \right|\) liên tục tại \({x_0} = 0\).
Tính: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{x}{x} = 1;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{x}{x} = - 1 \) \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\)
Vậy không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\).
Do đó không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x = 0\).
3. Bài tập
Câu 1: Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & khi\,x \ge 0\\ ax + b & khi\,x < 0 \end{array} \right.\) có đạo hàm tại điểm x = 0.
A. \(\left\{ \begin{array}{l} a = - 11\\ b = 11 \end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l} a = - 10\\ b = 10 \end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l} a = - 12\\ b = 12 \end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = 1 \end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Trước tiên hàm số phải liên tục tại x = 0
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1 = f(0),\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = b \Rightarrow b = 1\)
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = - 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} a = a\)
Hàm số có đạo hàm tại \(x = 0 \Leftrightarrow a = - 1\)
Câu 2: Tìm a, b để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} a{x^2} + bx + 1\\ a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in }}x + b\cos x \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} khi\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge 0}&{} \end{array}\\ khi\begin{array}{*{20}{c}} {x < 0}&{} \end{array} \end{array}\) có đạo hàm tại điểm x0 = 0
A. a = 1, b = 1.
B. a = -1, b = 1.
C. a = -1, b = -1.
D. a = 0, b = 1.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: f(0) = 1
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (a{x^2} + bx + 1) = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in }}x + b\cos x) = b \end{array}\)
Để hàm số liên tục thì b = 1
\(\begin{array}{l} f'({0^ + }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{a{x^2} + x + 1 - 1}}{x} = 1\\ f'({0^ - }) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + b\cos x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{2a\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos \frac{x}{2}} \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sin \frac{x}{2} = a \end{array}\)
Để tồn tại \(f'(0) \Rightarrow f'({0^ + }) = f'({0^ - }) \Leftrightarrow a = 1\)
Giới hạn lượng giác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x} = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{f(x) \to 0} \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inf(x)}}}}{{f(x)}} = 1\)
Câu 3: Cho hàm số \(f(x) = x(x - 1)(x - 2)...(x - 1000)\). Tính f'(0).
A. 10000!.
B. 1000!.
C. 1100!.
D. 1110!.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
\(\begin{array}{l} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(x - 1)(x - 2)...(x - 1000) - 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x - 1)(x - 2)...(x - 1000)\\ = ( - 1)( - 2)...( - 1000) = 1000! \end{array}\)
Câu 4: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - \sqrt {8{x^2} + 4} }}{x}\\ 0 \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} khi\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne 0}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ {} \end{array}} \end{array}\\ khi\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}&{} \end{array} \end{array}\).Giá trị của f'(0) bằng:
A. \(\frac{1}{3}\).
B. \(\frac{-5}{3}\).
C. \(\frac{4}{3}\).
D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - \sqrt {8{x^2} + 4} }}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - 2 + 2 - \sqrt {8{x^2} + 4} }}{{{x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{{4{x^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {4{x^2} + 8} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} + 4}} - \frac{{8{x^2}}}{{2 + \sqrt {8{x^2} + 4} }}} \right) = \frac{1}{3} - 2 = - \frac{5}{3} \end{array}\)
Câu 5: Với hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} x\sin \frac{\pi }{x}\\ 0 \end{array} \right.\)\(\begin{array}{l} khi\begin{array}{*{20}{c}} {\,\,x \ne 0}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ {} \end{array}} \end{array}\\ khi\begin{array}{*{20}{c}} {\,\,x = 0}&{} \end{array} \end{array}\) . Để tìm đạo hàm f'(x) = 0 một học sinh lập luận qua các bước như sau:
1. \(\left| {f(x)} \right| = \left| x \right|.\left| {\sin \frac{\pi }{x}} \right| \le \left| x \right|\).
2. Khi x→0 thì |x| →0 nên \(\left| {f(x)} \right| \to 0 \Rightarrow f(x) \to 0\).
3.Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f(0) = 0\) nên hàm số liên tục tại x = 0.
4.Từ f(x) liên tục tại x = 0 ⇒ f(x) có đạo hàm tại x = 0.
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:
A. Bước 1.
B. Bước 2.
C. Bước 3.
D. Bước 4.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \sin \frac{\pi }{x}\) không có giới hạn khi x → 0.
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về Khái niệm đạo hàm Toán 11. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Chúc các em học tập tốt!
