Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 2 Bài 4 Mặt nón, hình nón và khối nón

Trong mỗi trường hợp sau, hãy gọi tên hình tròn xoay:

a) Sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó.

b) Sinh bởi một tam giác vuông (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.

Hướng dẫn giải:

a) Hình nón

b) Khối nón.

Giả sử Al là một tiếp tuyến của mặt cầu S(I; R) với tiếp điểm là M. Khi đó nếu Δ là đường thẳng AI và α là góc giữa đường thẳng Al và Δ thì \(\alpha  = \widehat {MAI}\)

Ta có: \(sin\alpha  = \frac{{MI}}{{IA}} = \frac{R}{{IA}}\), suy ra góc α không đổi. Vậy Al là đường sinh của mặt nón (N) có đỉnh A và góc ở đỉnh là 2α.

Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.

c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R. Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Hình nón (N) có đỉnh S và đường tròn đáy là (O; r). Lấy điểm M trên (O; r) thì ΔSOM vuông tại O.

SO là trục của đường tròn (O; r) nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khi I thuộc SO và cách đều hai điểm S, M. Vậy I là giao điểm của SO với mặt phẳng trung trực của SM. Mặt cầu tâm I bán kính R = IS là mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

Câu b:

Kẻ đường kính SS′ của mặt cầu ngoại tiếp hình nón (SS′ > h)

ΔMSS′ vuông tại M có đường cao MO = r.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
M{O^2} = OS.OS\prime  \Rightarrow {r^2} = h(SS\prime  - h)\\
 \Rightarrow SS\prime  = \frac{{{r^2}}}{h} + h = \frac{{{r^2} + {h^2}}}{h}
\end{array}\)

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón: \(R = \frac{1}{2}SS\prime  = \frac{{{r^2} + {h^2}}}{{2h}}\)

Câu c:

Nếu hình nón có chiều cao h, bán kính đáy là r nội tiếp mặt cầu bán kính R thì theo câu b) ta có hệ thức r²  = h(2R−h).

Vậy \(r = \sqrt {h(2R - h)} \)

Độ dài đường sinh \(l = SM = \sqrt {SO.SS\prime }  = \sqrt {2R.h} \)

Diện tích xung quanh của hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl = \pi \sqrt {h(2R - h)} .\sqrt {2Rh}  = \pi h\sqrt {2R(2R - h)} \)

Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có một mặt cầu nội tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón đó.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Cho hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn (O; r).

Tâm I của mặt cầu nội tiếp hình nón nằm trên SO. Lấy điểm AA cố định trên (O; r) thì I là giao điểm của SO với đường phân giác trong của góc A của ΔSAO. I hoàn toàn xác định và là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón, bán kính mặt cầu là R = IO.

Câu b:

Ta có: \(SA = \sqrt {O{S^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{h^2} + {r^2}} \)

Theo tính chất đường phân giác ta có: 

\(\begin{array}{l}
\frac{{IO}}{{IS}} = \frac{{OA}}{{SA}} \Rightarrow \frac{{SA}}{{SI}} = \frac{{OA}}{{IO}} = \frac{{SA + OA}}{{SI + IO}}\\
 \Rightarrow \frac{{IO}}{{IO + IS}} = \frac{{OA}}{{OA + SA}} \Rightarrow \frac{{IO}}{h} = \frac{r}{{r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}
\end{array}\)

Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp: \(R = IO = \frac{r}{{r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}\)

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AB = b. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng BC.

Hướng dẫn giải:

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC

Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \Rightarrow A{H^2} = \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\)

Hai tam giác ABH và ACH khi quay quanh BC lần lượt tạo thành hai khối nón H₁,H₂ có thể tích lần lượt là

\({V_1} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}BH,{V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}CH\)

Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác $ABC$ khi quay quanh $BC$ là:

\(\begin{array}{l}
V = {V_1} + {V_2} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}BH + \frac{1}{3}\pi A{H^2}CH = \frac{1}{3}\pi A{H^2}BC\\
 = \frac{1}{3}\pi \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\sqrt {{b^2} + {c^2}}  = \frac{{\pi {b^2}{c^2}}}{{3\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}
\end{array}\)

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 2 Bài 4 Mặt nón, hình nón và khối nón được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!