Giải Toán 11 SGK nâng cao Ôn tập Chương 4 Giới hạn

Tìm giới hạn của các dãy số (u_n) với:

a) \({u_n} = \frac{{2{n^3} - n - 3}}{{5n - 1}}\)

b) \({u_n} = \frac{{\sqrt {{n^4} - 2n + 3} }}{{ - 2{n^2} + 3}}\)

c) \({u_n} =  - 2{n^2} + 3n - 7\)

d) \({u_n} = \sqrt[3]{{{n^9} + 8{n^2} - 7}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\lim {u_n} = \lim \frac{{2{n^3} - n - 3}}{{5n - 1}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {2 - \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{3}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {\frac{5}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}\\
 = \lim \frac{{2 - \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{3}{{{n^3}}}}}{{\frac{5}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}} =  + \infty 
\end{array}\)

(vì \(\lim \left( {2 - \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{3}{{{n^3}}}} \right) = 2,\lim \left( {\frac{5}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}} \right) = 0;5n - 1 > 0\))

Câu b:

\(\begin{array}{l}
\lim {u_n} = \lim \frac{{\sqrt {{n^4} - 2n + 3} }}{{ - 2{n^2} + 3}} = \lim \frac{{{n^2}\sqrt {1 - \frac{2}{{{n^3}}} + \frac{3}{{{n^4}}}} }}{{{n^2}\left( { - 2 + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)}}\\
 = \lim \frac{{\sqrt {1 - \frac{2}{{{n^3}}} + \frac{3}{{{n^4}}}} }}{{ - 2 + \frac{3}{{{n^2}}}}} =  - \frac{1}{2}
\end{array}\)

Câu c:

\(\lim {u_n} = \lim \left( { - 2{n^2} + 3n - 7} \right) = \lim {n^2}\left( { - 2 + \frac{3}{n} - \frac{7}{{{n^2}}}} \right) =  - \infty \)

(vì \(\lim {n^2} =  + \infty ,\lim \left( { - 2 + \frac{3}{n} - \frac{7}{{{n^2}}}} \right) =  - 2 < 0\))

Câu d:

\(\lim {u_n} = \lim \sqrt[3]{{{n^9} + 8{n^2} - 7}} = \lim {n^3}.\sqrt[3]{{1 + \frac{8}{{{n^7}}} - \frac{7}{{{n^9}}}}} =  + \infty \)

(vì \(\lim {n^3} =  + \infty ,\lim \sqrt[3]{{1 + \frac{8}{{{n^7}}} - \frac{7}{{{n^9}}}}} = 1 > 0\))

---

Tìm các giới hạn của các dãy số (u_­­n) với:

a) \({u_n} = \sqrt {3n - 1}  - \sqrt {2n - 1} \)

b) \({u_n} = \frac{{{4^n} - {5^n}}}{{{2^n} + {{3.5}^n}}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
\lim {u_n} = \lim \left( {\sqrt {3n - 1}  - \sqrt {2n - 1} } \right) = \lim \frac{{3n - 1 - \left( {2n - 1} \right)}}{{\sqrt {3n - 1}  + \sqrt {2n - 1} }}\\
 = \lim \frac{n}{{\sqrt n \left( {\sqrt {3 - \frac{1}{n}}  + \sqrt {2 - \frac{1}{n}} } \right)}}\\
 = \lim \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {3 - \frac{1}{n}}  + \sqrt {2 - \frac{1}{n}} }} =  + \infty 
\end{array}\)

(vì \(\lim \sqrt n  =  + \infty ,lim\left( {\sqrt {3 - \frac{1}{n}}  + \sqrt {2 - \frac{1}{n}} } \right) = \sqrt 3  + \sqrt 2  > 0\))

Câu b:

\(\lim {u_n} = \lim \frac{{{4^n} - {5^n}}}{{{2^n} + {{3.5}^n}}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} - 1}}{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} + 3}} =  - \frac{1}{3}\)

(vì \(\lim {\left( {\frac{4}{5}} \right)^n} = 0,\lim {\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} = 0\))

---

Cho một cấp số nhân (u_n), trong đó:

243u₈ = 32u₃ với u₃ ≠ 0.

a. Tính công bội của cấp số nhân đã cho.

b. Biết rằng tổng của cấp số nhân đã cho bằng 3⁵, tính u₁.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: u₈ = u₃q⁵ với q là công bội của cấp số nhân.

Thay vào đẳng thức đã cho, ta được:

243u₃q⁵ = 32u₃

Vì u₃ ≠ 0 nên \({q^5} = \frac{{32}}{{243}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^5} \Leftrightarrow q = \frac{2}{3}\)

Câu b:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

Từ đó, ta có \({3^5} = \frac{{{u_1}}}{{1 - \frac{2}{3}}}\), do đó u₁ = 3⁴ = 81

---

Tìm giới hạn của dãy số (u_n) xác định bởi:

\({u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\).

Hướng dẫn: Với mỗi số nguyên dương k, ta có

\(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}\)

Hướng dẫn giải:

\({u_n} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}} \right) + \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\)

Do đó \(\lim {u_n} = \lim \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1\)

---

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \sqrt[3]{{\frac{{2{x^4} + 3x + 1}}{{{x^2} - x + 2}}}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - x + 5} }}{{2x - 1}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} + 4x + 3}}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {\frac{{x + 4}}{{4 - x}}} \)

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {8 + 2x}  - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}\)

f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x}  - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \sqrt[3]{{\frac{{2{x^4} + 3x + 1}}{{{x^2} - x + 2}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{2.{{\left( { - 2} \right)}^4} + 3.\left( { - 2} \right) + 1}}{{{{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right) + 2}}}} = \frac{3}{2}\)

Câu b:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - x + 5} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{x}}} =  - \frac{1}{2}\)

Câu c:

Với x < - 3, ta có: \(\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} + 4x + 3}} = \frac{{{x^4} + 1}}{{x + 1}}.\frac{1}{{x + 3}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{{x^4} + 1}}{{x + 1}} = \frac{{82}}{{ - 2}} =  - 41 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{1}{{x + 3}} =  - \infty \) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} + 4x + 3}} =  + \infty \)

Câu d:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {\frac{{x + 4}}{{4 - x}}}  = \sqrt {\frac{6}{2}}  = \sqrt 3  > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {\frac{{x + 4}}{{4 - x}}}  =  + \infty \)

Câu e:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {8 + 2x}  - 2}}{{\sqrt {x + 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{8 + 2x - 4}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x}  + 2} \right)}}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {8 + 2x}  + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {8 + 2x}  + 2}} = \frac{0}{4} = 0
\end{array}\)

Câu f:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x}  - \sqrt {4 + {x^2}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + x - 4 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x}  + \sqrt {4 + {x^2}} }}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 4}}{{\left| x \right|\sqrt {1 + \frac{1}{x}}  + \left| x \right|\sqrt {\frac{4}{{{x^2}}} + 1} }}\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x\left( {1 - \frac{4}{x}} \right)}}{{ - x\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{x}}  + \sqrt {\frac{4}{{{x^2}}} + 1} } \right)}}\\
 =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 - \frac{4}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x}}  + \sqrt {1 + \frac{4}{{{x^2}}}} }} =  - \frac{1}{2}
\end{array}\)

---

Hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} + 8}}{{4x + 8}},\,\,\,\,x \ne  - 2\\
3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 2
\end{array} \right.\)

Có liên tục trên R không ?

Hướng dẫn giải:

Hàm số f liên tục tại mọi điểm x ≠ −2.

Với x ≠ −2, ta có:

\(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 8}}{{4x + 8}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{4\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{4}\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{4} = 3 = f\left( { - 2} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại x = −2, do đó f liên tục trên R.

---

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}},\,\,\,\,x < 2\\
mx + m + 1,\,\,\,\,\,\,x \ge 2
\end{array} \right.\)

Liên tục tại điểm x = 2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {mx + m + 1} \right) = 3m + 1 = f\left( 2 \right)\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 1}}{x} = \frac{1}{2}
\end{array}\)

f liên tục tại mọi x ≠ 2. Do đó:

f liên tục trên R ⇔ f liên tục tại x = 2

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\\
 \Leftrightarrow 3m + 1 = \frac{1}{2} \to  \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{6}
\end{array}\)

---

Chứng minh rằng phương trình:

\({x^4} - 3{x^2} + 5x - 6 = 0\)

Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2).

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(f(x)=x^4−3x^2+5x−6\) liên tục trên đoạn [1;2]. Ta có: \(f(1) = − 3 < 0\) và \(f(2)=8>0\)

Từ đó \(f(1).f(2) < 0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực c∈(1;2) sao cho \(f(c)=0\). Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho.

 

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Ôn tập Chương 4 Giới hạn với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.