Bài 38 trang 166 SGK Toán 11 nâng cao
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^3} + 1} - 1}}{{{x^2} + x}}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = 3\)
Câu b:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} = - \infty \)
(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \left( {2x - 1} \right) = - 7 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \left( {x + 3} \right) = 0\) và x + 3 > 0).
Câu c:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} = + \infty \)
(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {2x - 1} \right) = - 7 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \left( {x + 3} \right) = 0\) và x - 3 < 0)
Câu d:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^3} + 1} - 1}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3}}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^3} + 1} + 1} \right)}} = 0\)
Bài 39 trang 166 SGK Toán 11 nâng cao
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} + x - 10}}{{9 - 3{x^3}}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} }}{{3\left| x \right| - 17}}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} + x - 10}}{{9 - 3{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{10}}{{{x^3}}}}}{{\frac{9}{{{x^3}}} - 3}} = 0\)
Câu b:
Với mọi \(x \ne 0\), ta có:
\(\frac{{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} }}{{3\left| x \right| - 17}} = \frac{{\left| x \right|\sqrt {2 - \frac{7}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} }}{{\left| x \right|\left( {3 - \frac{{17}}{{\left| x \right|}}} \right)}} = \frac{{\sqrt {2 - \frac{7}{x} + \frac{{12}}{{{x^2}}}} }}{{3 - \frac{{17}}{{\left| x \right|}}}}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {2{x^2} - 7x + 12} }}{{3\left| x \right| - 17}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\)
Bài 40 trang 166 SGK Toán 11 nâng cao
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} \)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 2} \right)\sqrt {\frac{{x - 1}}{{{x^3} + x}}} \)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Với x > - 1 đủ gần - 1 (- 1 < x < 0), ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} \\
= \left( {{x^2} - x + 1} \right)\sqrt {\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}} \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {{x^2} - x + 1} \right)\sqrt {\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}} = 0
\end{array}\)
Câu b:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 2} \right)\sqrt {\frac{{x - 1}}{{{x^3} + x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}{{{x^3} + x}}} \\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}^2}\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}} = 1
\end{array}\)
Bài 41 trang 166 SGK Toán 11 nâng cao
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x - {x^2}} - 1}}{{{x^2} - x}}\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0\)
Câu b:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x - {x^2}} - 1}}{{{x^2} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x - {x^2} - 1}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2x - {x^2}} + 1} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2x - {x^2}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - x}}{{x\left( {\sqrt {2x - {x^2}} + 1} \right)}} = 0
\end{array}\)
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Bài 7 Các dạng vô định với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.
