Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 4 Bài 6 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {3{x^3} - 5{x^2} + 7} \right)\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {2{x^4} - 3x + 12} \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {3{x^3} - 5{x^2} + 7} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\left( {3 - \frac{5}{x} + \frac{7}{{{x^3}}}} \right) =  - \infty \)

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3} =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {3 - \frac{5}{x} + \frac{7}{{{x^3}}}} \right) = 3 > 0\))

Câu b:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {2{x^4} - 3x + 12}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^2}\sqrt {2 - \frac{3}{{{x^3}}} + \frac{{12}}{{{x^4}}}}  =  + \infty \)

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^2} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {2 - \frac{3}{{{x^3}}} + \frac{{12}}{{{x^4}}}}  = \sqrt 2  > 0\)).

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{{x^2} - 4}}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} =  + \infty \) (vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 5,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và \(x - 2 > 0,\forall x > 2\)) 

Câu b:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} =  - \infty \) (vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 5,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và \(x - 2 < 0,\forall x < 2\))

Câu c:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} =  - \infty \) (vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 1} \right) =  - 1 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0\) và \({x^2} > 0,\forall x \ne 0\))

Câu d:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{{x^2} - 4}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 2 - 1}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4}} =  - \infty \)

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 3,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - 4} \right) = 0\) và \({x^2} - 4 < 0,\forall x \in \left( { - 2;2} \right)\))

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^3} - 5}}{{{x^2} + 1}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^4} - x} }}{{1 - 2x}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^3} - 5}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x.\frac{{{x^2}\left( {1 - \frac{5}{{{x^3}}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x.\frac{{1 - \frac{5}{{{x^3}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} =  + \infty \)

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 - \frac{5}{{{x^3}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} = 1 > 0\))

Câu b:

Với mọi x < 0, ta có: \(\frac{{\sqrt {{x^4} - x} }}{{1 - 2x}} = \frac{{{x^2}\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{1 - 2x}} = \frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{x}}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}}  = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{x}} \right) = 0\) và \(\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{x} > 0\) với x < 0)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^4} - x} }}{{1 - 2x}} =  + \infty \)

Tính:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\frac{{2x + 1}}{{2x - 3}}} \right]\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{5}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x + 1}}{{2x - 3}} = \frac{3}{{ - 1}} =  - 3 < 0\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\frac{{2x + 1}}{{2x - 3}}} \right] =  - \infty \)

Câu b:

Ta có \(\frac{5}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}} = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\frac{5}{{x - 2}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{5}{{x - 2}} =  - 5 < 0\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{5}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}} =  - \infty \)

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Bài 6 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.