Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 4 Bài 6 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(3x^3-5x^2+7\right)$

b) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{2x^4-3x+12}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(3x^3-5x^2+7\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3\left(3-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^3}\right)=-\mathrm{\infty }$

(vì $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3=-\mathrm{\infty },\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(3-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^3}\right)=3>0$)

Câu b:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{2x^4-3x+12}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2\sqrt{2-\frac{3}{x^3}+\frac{12}{x^4}}=+\mathrm{\infty }$

(vì $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2=+\mathrm{\infty },\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{2-\frac{3}{x^3}+\frac{12}{x^4}}=\sqrt{2}>0$).

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{2x+1}{x-2}$

b) $\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{2x+1}{x-2}$

c) $\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)$

d) $\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x^2-4}\right)$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{2x+1}{x-2}=+\mathrm{\infty }$ (vì $\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(2x+1\right)=5,\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(x-2\right)=0$ và $x-2>0,\mathrm{\forall }x>2$) 

Câu b:

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{2x+1}{x-2}=-\mathrm{\infty }$ (vì $\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(2x+1\right)=5,\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(x-2\right)=0$ và $x-2<0,\mathrm{\forall }x<2$)

Câu c:

$\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-1}{x^2}=-\mathrm{\infty }$ (vì $\underset{x\to 0}{lim}\left(x-1\right)=-1<0,\underset{x\to 0}{lim}{x}^2=0$ và $x^2>0,\mathrm{\forall }x\ne 0$)

Câu d:

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x^2-4}\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{x+2-1}{x^2-4}=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{x+1}{x^2-4}=-\mathrm{\infty }$

(vì $\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(x+1\right)=3,\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(x^2-4\right)=0$ và $x^2-4<0,\mathrm{\forall }x\in \left(-2;2\right)$)

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3-5}{x^2+1}$

b) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^4-x}}{1-2x}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3-5}{x^2+1}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x.\frac{x^2\left(1-\frac{5}{x^3}\right)}{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x.\frac{1-\frac{5}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}}=+\mathrm{\infty }$

(vì $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x=+\mathrm{\infty },\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-\frac{5}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}}=1>0$)

Câu b:

Với mọi x < 0, ta có: $\frac{\sqrt{x^4-x}}{1-2x}=\frac{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^3}}}{1-2x}=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x^3}}}{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}}$

Vì $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{1-\frac{1}{x^3}}=1,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\right)=0$ và $\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}>0$ với x < 0)

Do đó $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^4-x}}{1-2x}=+\mathrm{\infty }$

Tính:

a) $\underset{x\to 1}{lim}\left[\frac{2}{{\left(x-1\right)}^2}.\frac{2x+1}{2x-3}\right]$

b) $\underset{x\to 1}{lim}\frac{5}{\left(x-1\right)\left(x^2-3x+2\right)}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có $\underset{x\to 1}{lim}\frac{2}{{\left(x-1\right)}^2}=+\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to 1}{lim}\frac{2x+1}{2x-3}=\frac{3}{-1}=-3<0$

Do đó $\underset{x\to 1}{lim}\left[\frac{2}{{\left(x-1\right)}^2}.\frac{2x+1}{2x-3}\right]=-\mathrm{\infty }$

Câu b:

Ta có $\frac{5}{\left(x-1\right)\left(x^2-3x+2\right)}=\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}.\frac{5}{x-2}$

Vì $\underset{x\to 1}{lim}\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}=+\mathrm{\infty },\underset{x\to 1}{lim}\frac{5}{x-2}=-5<0$

Do đó $\underset{x\to 1}{lim}\frac{5}{\left(x-1\right)\left(x^2-3x+2\right)}=-\mathrm{\infty }$

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Bài 6 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.