Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập (trang 159)

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to \sqrt{3}}{lim}\left|x^2-8\right|$

b) $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2+x+1}{x^2+2x}$

c) $\underset{x\to -1}{lim}\sqrt{\frac{x^3}{x^2-3}}$

d) $\underset{x\to 3}{lim}\sqrt[3]{\frac{2x\left(x+1\right)}{x^2-6}}$

e) $\underset{x\to -2}{lim}\frac{\sqrt{1-x^3}-3x}{2x^2+x-3}$

f) $\underset{x\to -2}{lim}\frac{2\left|x+1\right|-5\sqrt{x^2-3}}{2x+3}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\underset{x\to \sqrt{3}}{lim}\left|x^2-8\right|=\left|{\left(\sqrt{3}\right)}^2-8\right|=5$

Câu b:

$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2+x+1}{x^2+2x}=\frac{2^2+2+1}{2^2+2.2}=\frac{7}{8}$

Câu c:

$\underset{x\to -1}{lim}\sqrt{\frac{x^3}{x^2-3}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu d:

$\underset{x\to 3}{lim}\sqrt[3]{\frac{2x\left(x+1\right)}{x^2-6}}=\sqrt[3]{\frac{24}{3}}=2$

Câu e:

$\underset{x\to -2}{lim}\frac{\sqrt{1-x^3}-3x}{2x^2+x-3}=\frac{3+6}{8-5}=3$

Câu f:

$\underset{x\to -2}{lim}\frac{2\left|x+1\right|-5\sqrt{x^2-3}}{2x+3}=\frac{2-5}{-4+3}=3$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\sqrt{2}}{lim}\frac{x^3+2\sqrt{2}}{x^2-2}$

b) $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^4-27x}{2x^2-3x-9}$

c) $\underset{x\to -2}{lim}\frac{x^4-16}{x^2+6x+8}$

d) $\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{\sqrt{1-x}+x-1}{\sqrt{x^2-x^3}}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\sqrt{2}}{lim}\frac{x^3+2\sqrt{2}}{x^2-2}=\underset{x\to -\sqrt{2}}{lim}\frac{x^3+{\left(\sqrt{2}\right)}^3}{x^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}\\ =\underset{x\to -\sqrt{2}}{lim}\frac{\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x^2-x\sqrt{2}+2\right)}{\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)}\\ =\underset{x\to -\sqrt{2}}{lim}\frac{x^2-x\sqrt{2}+2}{x-\sqrt{2}}=\frac{-3\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Câu b:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^4-27x}{2x^2-3x-9}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{x\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)}{\left(x-3\right)\left(2x+3\right)}\\ =\underset{x\to 3}{lim}\frac{x\left(x^2+3x+9\right)}{2x+3}=9\end{array}$

Câu c:

$\underset{x\to -2}{lim}\frac{x^4-16}{x^2+6x+8}=\underset{x\to -2}{lim}\frac{\left(x^2+4\right)\left(x^2-4\right)}{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}=\underset{x\to -2}{lim}\frac{\left(x^2+4\right)\left(x-2\right)}{x+4}=-16$

Câu d:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{\sqrt{1-x}+x-1}{\sqrt{x^2-x^3}}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{\sqrt{1-x}-\left(1-x\right)}{\left|x\right|\sqrt{1-x}}\\ =\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{1-\sqrt{1-x}}{\left|x\right|}=1\end{array}$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{\frac{2x^5+x^3-1}{\left(2x^2-1\right)\left(x^3+x\right)}}$

b) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2\left|x\right|+3}{\sqrt{x^2+x+5}}$

c) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+x}+2x}{2x+3}$

d) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x+1\right)\sqrt{\frac{x}{2x^4+x^2+1}}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{\frac{2x^5+x^3-1}{\left(2x^2-1\right)\left(x^3+x\right)}}=\sqrt[3]{\frac{2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^5}}{\left(2-\frac{1}{x^2}\right)\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}=1$

Câu b:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2\left|x\right|+3}{\sqrt{x^2+x+5}}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2\left|x\right|+3}{\left|x\right|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}}}\\ =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-2x+3}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}}}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2-\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}}}=2\end{array}$

Câu c:

$x^2+x\ge 0\iff x\le -1\vee x\ge 0$

$\frac{\sqrt{x^2+x}+2x}{2x+3}=\frac{\left|x\right|\sqrt{1+\frac{1}{x}}+2x}{2x+3}=\frac{-\sqrt{1+\frac{1}{x}}+2x}{2+\frac{3}{x}}$

Với mọi $x\le -1,x\ne -\frac{3}{2}$

Do đó $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+x}+2x}{2x+3}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-\sqrt{1+\frac{1}{x}}+2}{2+\frac{3}{x}}=\frac{1}{2}$

Câu d:

$\begin{array}{l}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x+1\right)\sqrt{\frac{x}{2x^4+x^2+1}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{\frac{x{\left(x+1\right)}^2}{2x^4+x^2+1}}\\ =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{\frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}}}=0\end{array}$

Cho hàm số 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+3,x\le 2\\ 4x-3,x>2\end{array}$

Tìm $\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)$ và $\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)$ (nếu có)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(4x-3\right)=4.2-3=5\\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(x^2-2x+3\right)=2^2-2.2+3=3\end{array}$

Vì $\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)$ nên không tồn tại $\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)$.

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Luyện tập (trang 159) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.