Bài 31 trang 31 SGK Hình học 11 nâng cao
Chứng tỏ rằng nếu phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt biến thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C'
Hướng dẫn giải:
Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC thì phép đồng dạng F biến điểm D thành trung điểm D’ của đoạn thẳng B’C’, và vì thế trung tuyến AD của tam giác ABC biến thành trung tuyến A’D’ của tam giác A’B’C’. Đối với các đường trung tuyến còn lại cũng vậy
Vì trọng tâm tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến nên trọng tâm tam giác ABC biến thành trọng tâm tam giác A’B’C’
Gọi AH là đường cao của tam giác ABC (H ∈ BC)
Khi đó phép đồng dạng F biến thành đường thẳng AH thành đường thẳng A’H’
Vì AH ⊥ BC nên A’H ⊥ B’C’, nói cách khác A’H’ là đường cao của tam giác A’B’C’. Đối với các đường cao khác cũng thế
Vì trực tâm tam giác là giao điểm của các đường cao nên trực tâm tam giác ABC biến thành trực tâm tam giác A’B’C’
Nếu điểm O biến thành điểm O’ thì O’A’ = O’B’ = O’C’ = kOA = kOB = kOC, do đó O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’
Bài 32 trang 31 SGK Hình học 11 nâng cao
Chứng tỏ rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau
Hướng dẫn giải:
Giả sử cho n-giác đều A1A2…An và B1B2…Bn có tâm lần lượt là O và O’
Đặt \(k = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{O'{B_1}}}{{O{A_1}}}\)
Gọi V là phép vị tự tâm O, tỉ số k và C1C2…Cn là ảnh của đa giác A1A2…Anqua phép vị tự V
Hiển nhiên C1C2…Cn cũng là đa giác đều và vì \(\frac{{{C_1}{C_2}}}{{{A_1}{A_2}}} = k\) nên C1C2 = B1B2
Vậy hai n-giác đều C1C2…Cn và B1B2…Bn có cạnh bằng nhau, tức là có phép dời hình D biến C1C2…Cn thành B1B2…Bn
Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng dạng biến A1A2…An thành B1B2…Bn
Vậy hai đa giác đều đó đồng dạng với nhau
Bài 33 trang 32 SGK Hình học 11 nâng cao
Dựng tam giác ABC nếu biết hai góc \(\hat B = \beta , \hat C = \gamma \) và một trong các yếu tố sau:
a. Đường cao AH = h
b. Đường cao trung tuyến AM = m
c. Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp
Hướng dẫn giải:
Ta chú ý rằng có thể dựng rất nhiều tam giác ABC với hai góc B và C bằng hai góc β và γ đã cho, nhưng các tam giác đó đều đồng dạng với nhau
Vậy ta chỉ cần chọn trong các tam giác thỏa mãn các điều kiện về yếu tố thứ ba đã cho. Suy ra cách dựng
Câu a:
Dựng tam giác AB’C’ có hai góc B’ và C’ lần lượt bằng β và γ. Cụ thể như sau:
Dựng đoạn thẳng B’C’ tùy ý
Trên một nửa mặt phẳng có bờ B’C’ dựng tia B’x và C’y sao cho \(\widehat {xB\prime C\prime } = \beta \) và \(\widehat {yC\prime B\prime } = \gamma \)
Hai tia đó cắt nhau tại A và ta có tam giác AB’C’
Dựng đường cao AH’ của tam giác AB’C’
Nếu AH’ = h thì AB’C’ là tam giác cần dựng
Nếu AH’ ≠ h thì trên tia AH’, ta lấy điểm H sao cho AH = h rồi dựng đường thẳng a vuông góc với AH tại H, cắt AB’ tại B và cắt AC’ tại C
Tam giác cần dựng là ABC
Câu b:
Tương tự câu a
Câu c:
Dựng tam giác AB’C’ như câu a) rồi dựng tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’
Trên tia AO’ lấy điểm O sao cho AO = R rồi dựng đường tròn (O) đi qua A ( tức là có bán kính bằng R)
Hai tia AB’ và AC lần lượt cắt (O) tại các điểm B và C (khác A)
ABC là tam giác cần dựng
Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 11 Chương 1 Bài 7 Phép đồng dạng được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt!
