Bài 50 trang 175 SGK Toán 11 nâng cao
Chứng minh rằng:
a. Hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + 1} \right)^2},\,\,\,x \le 0\\
{x^2} + 2,\,\,\,\,\,\,\,x > 0
\end{array} \right.\) gián đoạn tại điểm x = 0
b. Mỗi hàm số
\(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \) và \(h\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x - 2}},\,\,\,x \le 1\\
- \frac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x > 1
\end{array} \right.\) liên tục trên tập xác định của nó.
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 2\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\left( {x + 1} \right)^2} = 1
\end{array}\)
Suy ra hàm số f gián đoạn tại x = 0
Câu b:
- Tập xác định của hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \) là \(\left[ {3; + \infty } \right)\)
Với x0 > 3 ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x - 3} = \sqrt {{x_0} - 3} = g\left( {{x_0}} \right)\)
Nên g liên tục trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), ngoài ra:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \sqrt {x - 3} = 0 = g\left( 3 \right)\)
Vậy g liên tục trên \(\left[ {3; + \infty } \right)\)
- Tập xác định của hàm số
\(h\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x - 2}},\,\,\,x \le 1\\
- \frac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x > 1
\end{array} \right.\) là R
Rõ ràng h liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) (Vì trên các khoảng này h là hàm phân thức)
Tại x0 = 1 ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x - 2}} = - 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 1}}{x} = - 1\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = h\left( 1 \right)
\end{array}\)
⇒ h liên tục tại x = 1
Vậy h liên tục trên R.
Bài 51 trang 175 SGK Toán 11 nâng cao
Giải thích vì sao:
a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\sin x - 2{\cos ^2}x + 3\) liên tục trên R.
b. Hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}}\) liên tục trên R
c. Hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\sin x - {{\cos }^3}x}}{{x\sin x}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \ne k\pi ,k \in Z\).
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Với mọi x0 ∈ R, ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^2} = x_0^2,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sin x = \sin {x_0}\)
và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\)
(vì các hàm số y = sinx và y = cosx liên tục trên R)
Do đó:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2}\sin x - 2{{\cos }^2}x + 3} \right)\\
= x_0^2\sin {x_0} - 2{\cos ^2}{x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)
\end{array}\)
Vậy hàm số f liên tục tại mọi điểm x0 ∈ R.
Do đó hàm số f liên tục trên R.
Câu b:
Tập xác định của g là R
Với mọi x0 ∈ R ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^3} = x_0^3,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sin x = \sin {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \frac{{x_0^3 + {x_0}\cos {x_0} + \sin {x_0}}}{{2\sin {x_0} + 3}} = g\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số g liên tục tại mọi x0 ∈ R.
Do đó g liên tục trên RR.
Câu c:
Tương tự b, ∀x0 ≠ kπ, k ∈ Z
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h\left( x \right) = \frac{{\left( {2{x_0} + 1} \right)\sin {x_0} - {{\cos }^3}{x_0}}}{{{x_0}\sin {x_0}}} = h\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số h liên tục tại mọi x0 ∈ R.
Do đó h liên tục trên R.
Bài 52 trang 176 SGK Toán 11 nâng cao
Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 3 + \frac{1}{{x - 2}}\) liên tục trên tập xác định của nó.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = R \ {2}
Với mọi x0 ≠ 2, ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = x_0^2 + {x_0} + 3 + \frac{1}{{{x_0} - 2}} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Suy ra f liên tục tại mọi x0 ≠ 2 nên f liên tục trên tập xác định.
Bài 53 trang 176 SGK Toán 11 nâng cao
Chứng minh rằng phương trình x3+x+1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn - 1.
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(f(x)=x^3+x+1\) liên tục trên đoạn [- 1;0] có \(f(−1)=−1\) và \(f(0)=1\).
Vì \(f(−1).f(0)<0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một điểm c∈ (−1;0) sao cho \(f(c)=0\). Số c là nghiệm âm lớn hơn - 1 của phương trình đã cho.
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Luyện tập (trang 175, 196) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.
