Bài 46 trang 172 SGK Toán 11 nâng cao
Chứng minh rằng:
a. Các hàm số \(f(x)=x^3−x+3\) và \(g\left( x \right) = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm x ∈ R.
b. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}},\,\,\,x \ne 2\\
1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 2
\end{array} \right.\) liên tục tại điểm x = 2
c. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}},\,\,\,x \ne 1\\
2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1
\end{array} \right.\) gián đoạn tại điểm x = 1
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Hàm số \(f(x)=x^3−x+3\) xác định trên R. Với mọi x0 ∈ R, ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^3} - x + 3} \right) = x_0^3 - {x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy f liên tục tại điểm x0. Do đó hàm số f liên tục trên R.
Hàm số g là hàm phân thức nên g liên tục trên tập xác định D = R.
Câu b:
Với mọi x ≠ 2, ta có:
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = x - 1\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} \right) = 1 = f\left( 2 \right)\)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm x = 2
Câu c:
Với mọi x ≠ 1, ta có:
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} = {x^2} + x + 1\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 3 \ne 2 = f\left( 1 \right)\)
Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm x = 1.
Bài 47 trang 172 SGK Toán 11 nâng cao
Chứng minh rằng:
a. Hàm số \(f(x)=x^4−x^2+2\) liên tục trên R
b. Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\) liên tục trên khoảng (-1;1) ;
c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) liên tục trên đoạn [-2;2];
d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Hàm số \(f(x)=x^4−x^2+2\) xác định trên R. Với mọi x0 ∈ R ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} - {x^2} + 2} \right) = x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy f liên tục tại x0 nên f liên tục trên R.
Câu b:
Hàm số f xác định khi và chỉ khi:
1−x2 > 0 ⇔ −1< x < 1
Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1;1)
Với mọi x0 ∈ (-1 ; 1), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm x0. Do đó f liên tục trên khoảng (-1;1)
Câu c:
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên đoạn [-2 ; 2]
Với mọi \({x_0} \in \left( { - 2;2} \right)\), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (- 2;2). Ngoài ra, ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2.{{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0 = f\left( { - 2} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 2 \right)}^ - }} f\left( x \right) = \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right)\)
Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [- 2;2]
Câu d:
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên nửa khoảng \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Với \({x_0} \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} = \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Mặt khác ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left( {\frac{1}{2}} \right)\)
Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Bài 48 trang 173 SGK Toán 11 nâng cao
Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:
a. \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 4}}{{2x + 1}}\)
b. \(f\left( x \right) = \sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} \)
Hướng dẫn giải:
Câu a:
Tập xác định của hàm số f là \(R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\). Hàm số phân thức hữu tỉ nên f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Câu b:
Hàm số f xác định khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}
1 - x \ge 0\\
2 - x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 1\)
Do đó tập xác định của hàm số f là \(\left( { - \infty ;1} \right]\)
Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right) = \sqrt {1 - {x_0}} + \sqrt {2 - {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\). Ngoài ra
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right) = 1 = f\left( 1 \right)\)
Do đó hàm số f liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right]\)
Bài 49 trang 173 SGK Toán 11 nâng cao
Chứng minh rằng phương trình :
x2cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;π).
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x + x\sin x + 1\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right],f\left( 0 \right) = 1 > 0,f\left( \pi \right) = 1 - {\pi ^2} < 0\). Vì \(f\left( 0 \right).f\left( \pi \right) < 0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left( {0;\pi } \right)\) sao cho \(f(c)=0\). Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho.
Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Bài 8 Hàm số liên tục với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.
