Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 4 Bài 4 Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số

Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau :

a. $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^2-3x-4}{x+1}$

b. $\underset{x\to 1}{lim}\frac{1}{\sqrt{5-x}}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với x ≠ −1 ta có: $f\left(x\right)=\frac{x^2-3x-4}{x+1}=\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x+1}=x-4$  

Với mọi dãy số (x_n) trong khoảng $R\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$ (tức là $x_n\ne -1,\mathrm{\forall }n$), mà $lim{x}_n=-1$, do đó:

$limf\left(x_n\right)=lim\left(x_n-4\right)=-1-4=-5$

Vậy $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^2-3x-4}{x+1}=-5$

Câu b:

Tập xác định của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{5-x}}$ là $D=\left(-\mathrm{\infty };5\right)$

Với mọi dãy (xn) trong khoảng $\left(-\mathrm{\infty };5\right)\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$ sao cho $lim{x}_n=1$, ta có:

$limf\left(x_n\right)=lim\frac{1}{\sqrt{5-x_n}}=\frac{1}{2}$

Vậy $\underset{x\to 1}{lim}\frac{1}{\sqrt{5-x}}=\frac{1}{2}$

---

Cho hàm số $f\left(x\right)=\cos \frac{1}{x}$ và hai dãy số $\left(x{}_n^{\prime }\right),\left(x^{\prime }{}_n^{\prime }\right)$ với:

$x{}_n^{\prime }=\frac{1}{2n\pi },x^{\prime }{}_n^{\prime }=\frac{1}{\left(2n+1\right)\frac{\pi }{2}}$

a. Tìm giới hạn của các dãy số $\left(x{}_n^{\prime }\right),\left(x^{\prime }{}_n^{\prime }\right),\left(f\left(x{}_n^{\prime }\right)\right)$ và $\left(f\left(x^{\prime }{}_n^{\prime }\right)\right)$

b. Tồn tại hay không $\underset{x\to 0}{lim}\cos \frac{1}{x}$?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

$\begin{array}{l}limx{}_n^{\prime }=lim\frac{1}{2n\pi }=0\\ lim{x}^{\prime }{}_n^{\prime }=lim\frac{1}{\left(2n+1\right)\frac{\pi }{2}}=0\\ limf\left(x{}_n^{\prime }\right)=lim\cos 2n\pi =1\\ limf\left(x^{\prime }{}_n^{\prime }\right)=lim\cos \left(2n+1\right)\frac{\pi }{2}=0\end{array}$

Câu b:

Vì $limf\left(x{}_n^{\prime }\right)\ne limf\left(x^{\prime }{}_n^{\prime }\right)$ nên không tồn tại $\underset{x\to 0}{lim}\cos \frac{1}{x}$.

---

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{lim}\left(3x^2+7x+11\right)$

b) $\underset{x\to 1}{lim}\frac{x-x^3}{\left(2x-1\right)\left(x^4-3\right)}$

c) $\underset{x\to 0}{lim}x\left(1-\frac{1}{x}\right)$

d) $\underset{x\to 9}{lim}\frac{\sqrt{x}-3}{9x-x^2}$

e) $\underset{x\to \sqrt{3}}{lim}\left|x^2-4\right|$

f) $\underset{x\to 2}{lim}\sqrt{\frac{x^4+3x-1}{2x^2-1}}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\underset{x\to 2}{lim}\left(3x^2+7x+11\right)=\underset{x\to 2}{lim}3x^2+\underset{x\to 2}{lim}7x+\underset{x\to 2}{lim}11={3.2}^2+7.2+11=37$

Câu b:

$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x-x^3}{\left(2x-1\right)\left(x^4-3\right)}=\frac{0}{-2}=0$

Câu c:

$\underset{x\to 0}{lim}x\left(1-\frac{1}{x}\right)=\underset{x\to 0}{lim}\left(x-1\right)=-1$

Câu d:

$\underset{x\to 9}{lim}\frac{\sqrt{x}-3}{9x-x^2}=\underset{x\to 9}{lim}\frac{\sqrt{x}-3}{-x\left(x-9\right)}=\underset{x\to 9}{lim}\frac{1}{-x\left(\sqrt{x}+3\right)}=-\frac{1}{54}$

Câu e:

$\underset{x\to \sqrt{3}}{lim}\left|x^2-4\right|=1$

Câu f:

$\underset{x\to 2}{lim}\sqrt{\frac{x^4+3x-1}{2x^2-1}}=\sqrt{\frac{2^4+3.2-1}{{2.2}^2-1}}=\sqrt{3}$

---

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2-x+7}{2x^3-1}$

b) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^4+7x^3-15}{x^4+1}$

c) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^6+2}}{3x^3-1}$

d) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^6+2}}{3x^3-1}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2-x+7}{2x^3-1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3\left(\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{7}{x^3}\right)}{x^3\left(2-\frac{1}{x^3}\right)}\\ =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{2-\frac{1}{x^3}}=\frac{0}{2}=0\end{array}$

Câu b:

$\begin{array}{l}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^4+7x^3-15}{x^4+1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^4\left(2+\frac{7}{x}-\frac{15}{x^4}\right)}{x^4\left(1+\frac{1}{x^4}\right)}\\ =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2+\frac{7}{x}-\frac{15}{x^4}}{1+\frac{1}{x^4}}=2\end{array}$

Câu c:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^6+2}}{3x^3-1}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3\sqrt{1+\frac{2}{x^6}}}{x^3\left(3-\frac{1}{x^3}\right)}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+\frac{2}{x^6}}}{3-\frac{1}{x^3}}=\frac{1}{3}$

Câu d:

Với mọi x < 0, ta có:

$\frac{\sqrt{x^6+2}}{3x^3-1}=\frac{\left|x^3\right|\sqrt{1+\frac{2}{x^6}}}{x^3\left(3-\frac{1}{x^3}\right)}=\frac{-x^3\sqrt{1+\frac{2}{x^6}}}{x^3\left(3-\frac{1}{x^3}\right)}=\frac{-\sqrt{1+\frac{2}{x^6}}}{3-\frac{1}{x^3}}$

Do đó $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^6+2}}{3x^3-1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-\sqrt{1+\frac{2}{x^6}}}{3-\frac{1}{x^3}}=-\frac{1}{3}$

---

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{\frac{x^2+2x}{8x^2-x+3}}$

b) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x\sqrt{x}}{x^2-x+2}$

Hướng dẫn giải:

Câu a:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{\frac{x^2+2x}{8x^2-x+3}}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{\frac{1+\frac{2}{x}}{8-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}}=\frac{1}{2}$

Câu b:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x\sqrt{x}}{x^2-x+2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x\sqrt{x}}{x^2\left(1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}\left(1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}=0$

(vì $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}}=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}=1$)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Bài 4 Định nghĩa và một số định lí về giới hạn của hàm số với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.