Đề thi HSG Toán 6 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Tam Dương có đáp án

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!

Câu 1. (2,5 điểm) Cho phép toán (*) xác định bởi a*b = ab + a + b.

a) Tính A = (1*2) * (3*4)

b) Tính giá trị của B = m*m nếu 3*m = -1

c) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x*y = 3*x + y*1

Câu 2. (1,5 điểm) Hãy nghiên cứu sơ đồ dưới đây:

\(\begin{array}{l}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{1}}};\\\frac{{\rm{2}}}{{\rm{1}}}{\rm{,}}\;\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}};\\\frac{{\rm{3}}}{{\rm{1}}}{\rm{,}}\;\frac{{\rm{2}}}{{\rm{2}}}{\rm{,}}\;\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}};\\\frac{{\rm{4}}}{{\rm{1}}}{\rm{,}}\;\frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}{\rm{,}}\;\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}{\rm{,}}\;\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}};\\...\end{array}\)

Hỏi số \(\frac{{2016}}{{2017}}\) sẽ nằm ở hàng thứ bao nhiêu và ở thứ tự bao nhiêu trong hàng đó tính từ trái sang?

Câu 3. (2,0 điểm)

Một người đi từ A đến B với vận tốc 24 km/h. Một lát sau một người khác cũng đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Theo dự định hai người sẽ gặp nhau tại B, nhưng khi đi được nửa quãng đường AB thì người thứ hai tăng vận tốc lên thành 48 km/h. Hỏi hai người sẽ gặp nhau tại địa điểm cách B bao nhiêu km? Biết rằng quãng đường AB dài 160km.

Câu 4. (3,0 điểm) Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù thỏa mãn: \(\widehat {xOy} = \frac{5}{4}\widehat {yOz}\).

a)  Tính số đo các góc xOy và yOz.

b)  Kẻ tia Ot sao cho \(\widehat {tOy}\)= 80⁰. Tia Oy có là tia phân giác của góc tOz không?

c) Khi Oy là tia phân giác của góc tOz. Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng phân biệt sao cho các đường thẳng này đều không chứa các tia Ox, Oy, Oz và Ot. Vẽ đường tròn tâm O bán kính  r. Gọi A là tập hợp các giao điểm của đường tròn nói trên với các tia gốc O có trong hình vẽ. Tính số tam giác mà các đỉnh của nó đều thuộc tập hợp A.

(Cho biết ba điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn thì không thẳng hàng)

Câu 5. (1,0 điểm)

a) Cho các số tự nhiên a, b (a, b ≠ 0) sao cho \(\frac{{a + 1}}{b} + \frac{{b + 1}}{a}\) có giá trị là số tự nhiên. Gọi d là ước chung lớn nhất của a và b. Chứng minh rằng:  \(a + b \ge {d^2}\).

b) Cho một lưới ô vuông kích thước 5x5. Người ta điền vào mỗi ô của lưới một trong các số -1; 0; 1. Xét tổng của các ô được tính theo từng cột, theo từng hàng và theo từng đường chéo. Hãy chứng tỏ rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 6 Phòng GD&ĐT Tam Dương:

a) Theo cách xác định phép toán (*) ta có:

A = \(\left( {1*2} \right)*\left( {3*4} \right)\)

    = (1.2 + 1 + 2)*(3.4 + 3 + 4)

    = 5*19

    = 5.19 + 5 + 19

    = 119

b) Theo cách xác định phép toán (*) ta có: 

          3*m = -1

3m + 3 + m = -1

             4m = -4

               m = -1

và B= m*m = m² + 2m, thay m = -1 vào B ta có

B = (-1)² + 2.(-1) = 1 – 2 = -1

Vậy B = -1

c) Ta có:  x*y = 3*x + y*1

xy + x + y = 3x + 3 + x + y + y + 1

xy – 3x – y = 4 hay (x – 1)(y – 3) = 7

Lập luận và tính được các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là:

(2; 10); (0; -4); (8; 4); (-6; 2)

Trên đây là một phần trích của Đề thi học sinh giỏi Toán 6 năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Tam Dương. Để xem tiếp nội dung các em vui lòng đăng nhập vào website Chúng tôi.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.