8 BÀI TẬP BỒI DƯỠNG TOÁN NÂNG CAO LỚP 6
Bài toán 1: So sánh giá trị biều thức \(A = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{{15}}{{16}} + ... + \frac{{9999}}{{10000}}\) với các số 98 và 99.
Ta có: \(A = \left( {1 - \frac{1}{4}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{9}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{16}}} \right) + ... + \left( {1 - \frac{1}{{10000}}} \right) = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) + ... + \left( {1 - \frac{1}{{{{100}^2}}}} \right)\)=
\(99 - \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}}} \right) = 99 - B\) với B = \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}}\) > 0 Nên A
< 99.
Ta có \(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}\) với mọi k \( \ge 1\) nên \(B = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + .... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}} = 1 - \frac{1}{{100}} < 1\)
Do đó \(A = 99 - B > 99 - 1 = 98\). Vậy \(98 < A < 99\)
Tổng quát: :\(\left( {n - 2} \right) < \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{{15}}{{16}} + ... + \frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}} < \left( {n - 1} \right)\)
Bài toán 2: Viết số \(1 + {2^2} + {3^3} + {4^4} + ... + {999^{999}} + {1000^{1000}}\)trong hệ thập phân. Tìm ba số đầu tiên bên trái số đó?
Giải: Ta có \(A = 1 + {2^2} + {3^3} + {4^4} + ... + {999^{999}} + {1000^{1000}}\) ; Đặt \(B = {1000^{1000}} = {10^{3000}} = 1\underbrace {00000...0000}_{3000}\) gồm có 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1000 (1)
Đặt C \( = 1000 + {1000^2} + {1000^3} + ... + {1000^{999}} + {1000^{1000}} = {10^3} + {10^6} + .. + {10^{2997}} + {10^{3000}}\)=\(100100100....1000\) gồm 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1001 (2). Vì B < A < C và B, C đều có 3001 chữ số nên từ (1) và (2) suy ra A có 3001 chữ số nên ba chữ số ầu tiên bên trái của A là 100.
Bài toán 3:
Cho \(A = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{29}} + ... + \frac{1}{{{n^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 2} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{1877}}\). Chứng minh rằng \(0,15 < A < 0,25\).
Giải : Ta có \(A = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{29}} + ... + \frac{1}{{{n^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 2} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{1877}}\)
\( = \frac{1}{{{1^2} + {2^2} + {3^2}}} + \frac{1}{{{2^2} + {3^2} + {4^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2} + {{\left( {n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 2} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{24}^2} + {{25}^2} + {{26}^2}}}\)
\(B = {n^2} + {\left( {n + 1} \right)^2} + {\left( {n + 2} \right)^2} = 3{n^2} + 6n + 5\). (1)
- Với \(n \ge 1\) từ (1) ta có: \(B < 3{n^2} + 9n + 6 = 3\left( {{n^2} + 3n + 2} \right) = 3\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\). Từ đó :
\(A > \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + ... + \frac{1}{{24.25}} + \frac{1}{{25.26}}} \right) = \frac{1}{3}C\)
Với \(C = \)\(\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + ... + \frac{1}{{24.25}} + \frac{1}{{25.26}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{25}} - \frac{1}{{26}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{26}} = \frac{6}{{13}}\). Suy ra \(A > \frac{1}{3}.\frac{6}{{13}} = \frac{2}{{13}} > 0,15\).
- Với \(n \ge 1\) từ (1) ta có: \(B > 2{n^2} + 6n + 4 = 2\left( {{n^2} + 3n + 2} \right) = 2\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\). Từ đó :
\(A < \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + ... + \frac{1}{{24.25}} + \frac{1}{{25.26}}} \right) = \frac{1}{2}C\)
Với \(C = \)\(\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + ... + \frac{1}{{24.25}} + \frac{1}{{25.26}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{25}} - \frac{1}{{26}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{26}} = \frac{6}{{13}}\). Suy ra \(A < \frac{1}{2}.\frac{6}{{13}} = \frac{3}{{13}} < 0,25\). Vậy \(0,15 < A < 0,25\)
Tổng quát:quát:\(\frac{1}{6} - \frac{1}{{3\left( {k + 2} \right)}} < \frac{1}{{{1^2} + {2^2} + {3^2}}} + \frac{1}{{{2^2} + {3^2} + {4^2}}} + ... + \frac{1}{{{k^2} + {{\left( {k + 1} \right)}^2} + {{\left( {k + 2} \right)}^2}}} < \frac{1}{4} - \frac{1}{{2\left( {k + 2} \right)}}\)
Để xem tiếp các bài toán còn lại các em vui lòng đăng nhập vào website Chúng tôi.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính. Chúc các em ôn tập thật tốt.
