Các quy tắc tính đạo hàm và bài tập áp dụng

Cho hai hàm số \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right) \ne 0,\forall x \in J\) có đạo hàm trên \(J\). Khi đó:

\(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v'\)

\(\left( {u.v} \right)' = u'v + uv'\)

\(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Hệ quả: \(\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' =  - \dfrac{{u'}}{u^2}\)

ở đó \(u = u\left( x \right)\) là một hàm số của \(x\).

Lưu ý:

Chỉ khi gặp các hàm số sơ cấp cơ bản (nghĩa là hàm số giống cột trái) ta mới sửa dụng công thức ở cột trái. Còn lại hầu hết sẽ sử dụng công thức cột phải.

Ví dụ: Tính đạo hàm.

a) \(y = x - \tan x\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \left( {x - \tan x} \right)'\\ = \left( x \right)' - \left( {\tan x} \right)'\\ = 1 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\end{array}\)

b) \(y = 1 - 2x + \tan \left( {2x - 1} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \left[ {1 - 2x + \tan \left( {2x - 1} \right)} \right]'\\ = \left( 1 \right)' - \left( {2x} \right)' + \left[ {\tan \left( {2x - 1} \right)} \right]'\\ = 0 - 2.1 + \frac{{\left( {2x - 1} \right)'}}{{{{\cos }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\\ =  - 2 + \frac{2}{{{{\cos }^2}\left( {2x - 1} \right)}}\end{array}\)

Câu 1: Đạo hàm của hàm số \(y=({{x}^{2}}+1)({{x}^{3}}+2)({{x}^{4}}+3)\) bằng biểu thức có dạng \(a{{x}^{8}}+b{{x}^{6}}+c{{x}^{5}}+15{{x}^{4}}+d{{x}^{3}}+e{{x}^{2}}+gx\). Khi đó \(a-b+c-d+e-g\) bằng:

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

\({y}'=2x\left( {{x}^{3}}+2 \right)\left( {{x}^{4}}+3 \right)+3{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{4}}+3 \right)+4{{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{3}}+2 \right)\)

\(=2x\left( {{x}^{7}}+2{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}+6 \right)+3{{x}^{2}}\left( {{x}^{6}}+{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+3 \right)+4{{x}^{3}}\left( {{x}^{5}}+{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2 \right)\)

\(=9{{x}^{8}}+7{{x}^{6}}+12{{x}^{5}}+15{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+12x.\)

\(\Rightarrow a-b+c-d+e-g=3\)

Câu 2: Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{-{{x}^{2}}+2x+3}{{{x}^{3}}-2}\) bằng biểu thức có dạng \(\frac{a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e}{{{({{x}^{3}}-2)}^{2}}}\). Khi đó \(a+b+c+d+e\) bằng:

A. -12

B. -10

C. 8.

D. 5.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

\({y}'=\frac{\left( -2x+2 \right)\left( {{x}^{3}}-2 \right)-3{{x}^{2}}\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)}{{{\left( {{x}^{3}}-2 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+4x-4}{{{\left( {{x}^{3}}-2 \right)}^{2}}}\)

\(\Rightarrow a+b+c+d+e=-12\)

Câu 3: Đạo hàm của hàm số \(y=(x-2)\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) biểu thức có dạng \(\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\). Khi đó a.b.c bằng:

A. -2

B. -4

C. -6

D. -8

Hướng dẫn giải

Chọn B.

\({y}'=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\left( x-2 \right).\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{2}}-2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\)

Câu 4: Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\) biểu thức có dạng \(\frac{ax+b}{\sqrt{{{({{x}^{2}}+1)}^{3}}}}\). Khi đó P=a.b bằng:

A. P=1

B. P=-1

C. P=2

D. P=-2

Hướng dẫn giải

Chọn A.

\({y}'=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\left( x-1 \right).\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}+x}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}=\frac{x+1}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}\)

\(\Rightarrow P=a.b=1\)

Câu 5: Cho \(f\left( x \right)=\frac{x}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\cdots \left( x-2017 \right)}\) thì \({f}'\left( 0 \right)\)

A. \(\frac{1}{2017!}\)

B. 2017!

C. \(-\frac{1}{2017!}\)

D. -2017!

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: \({f}'\left( x \right)=\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\ldots \left( x-2017 \right)-x{{\left[ \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\ldots \left( x-2017 \right) \right]}^{\prime }}}{{{\left[ \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\ldots \left( x-2017 \right) \right]}^{2}}}\)

\(\Rightarrow {f}'\left( 0 \right)=\frac{\left( -1 \right)\left( -2 \right)\ldots \left( -2017 \right)}{{{\left[ \left( -1 \right)\left( -2 \right)\ldots \left( -2017 \right) \right]}^{2}}}=-\frac{1}{2017!}\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Các quy tắc tính đạo hàm và bài tập áp dụng. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!