Các dạng toán về Trung điểm của đoạn thẳng Toán 6

CÁC DẠNG TOÁN VỀ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG

Trung điểm của đoạn thẳng: là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳng còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng.

Ví dụ 1: Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB

Ta có:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ MA = MB và M nằm giữa hai điểm A, B.

Hoặc M là trung điểm của đoạn thẳng AB 

Hoặc M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 

Ví dụ 2: Trên tia lấy ba điểm A, M, B. Biết OA = 8, OB = 14 và OM = 11 . Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.

Hướng dẫn giải:

Ta có: OA < OM < OB ⇒ M thuộc đoạn thẳng AB

Ta lại có: MA = OM - OA = 3; MB = OB - OM = 3 ⇒ MA = MB (2)

Từ (1), (2) ⇒ M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Phương pháp giải

Vận dụng định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng. Để chứng tỏ M là trung điểm của AB, phải có đủ để

hai điều kiện :

– M nằm giữa A và B (hoặc AM + MB = AB)

– MA = MB.

Ví dụ 1. 

Trên tia Ox, vẽ hai điểm A, B sao cho OA = 2cm ; OB = 4cm.

a) Điểm A có nằm giữa hai điểm o và B không ?

b) So sánh OA và AB.

c) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không ? Vì sao ?

Giải

a) Điểm A nằm giữa O và B vì A và B đều nằm trên tia Ox và OA < OB.

b) Điểm  A nằm giữa O và B nên :

OA + AB = OB;

AB = OB – OA = 4 – 2 = 2 (cm)

Vậy : OA = AB.

c) Điểm A là trung điểm của OB vì A nằm giữa O và B và OA = AB.

Ví dụ 2. 

Cho hai tia đối nhau Ox, Ox’. Trên tia Ox vẽ điểm A sao cho OA = 2cm. Trên tia Ox’ vẽ điểm B sao cho

OB = 2cm. Hỏi O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không ? Vì sao ?

Giải

Hai tia OA, OB đối nhau nên O nằm giữa A và B. Lại có OA = OB = 2cm nên O là trung

điểm của AB.

Ví dụ 3.

Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng xx’, yy’. Trên xx’ vẽ đoạn thẳng CD dài 3cm, trên yy‘ vẽ đoạn

thẳng EF dài 5cm sao cho o là trung điểm chung của cả hai đoạn thẳng ấy.

Hướng dẫn

Trên tia Ox vẽ điểm C sao cho : OC = 3:2 = 1,5 (cm).

Bạn đọc tự vẽ các điểm D, E , F.

Ví dụ 4. 

Cho đoạn thẳng AB dài 6cm. Gọi c là trung điểm của AB. Lấy D và E là hai điểm thuộc đoạn thẳng AB

sao cho AD = BE = 2cm . Vì sao C là trung điểm của DE ?

Giải

Vì C là trung điểm của AB nên C nằm giữa A, B (1) và CA = CB = 6:2 = 3(cm).

Trên tia AB có : AD < AC (2 < 3) nên điểm D nằm giữa A và c (2) do đó :

CD = AC – AD = 3 – 2 = 1(cm).

Lập luận tương tự ta được điểm E nằm giữa B và c (3) và CE = 1 cm .

Từ (1), (2), (3) suy ra điểm C nằm giữa D và E . Mặt khác có:

CD = CE (= 1 cm) nên c là trung điểm của DE.

Ví dụ 5 . Cho điểm o nằm giữa hai điểm A và B sao cho AO = 1/2 AB .

Chứng tỏ rằng O là trung điểm của AB.

Giải

Điểm O nằm giữa A và B (1) nên :

AO + OB = AB ; OB = AB – OA ;

OB = AB – 1/2AB = 1/2 AB.

Do đó OA = OB (2).

Từ (1) và (2) suy ra o là trung điểm của AB.

Ví dụ 6 . Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm. Điểm c nằm giữa A và B sao cho

AC = 1/3 AB. Điểm o nằm trên tia CB sao cho CO = 1/2 AC.

Chứng tỏ rằng O là trung điểm của AB.

Giải

AC = 1/3  .6 = 2(cm);   CO = 1.2 .2 = 1 (cm)

 Hai tia CA , CO đối nhau nên C nằm giữa A và O do đó :

AO = AC + CO = 2 + 1 = 3(cm).

Trên tia AB có AO < AB (3 < 6) nên O nằm giữa A và B, mặt khác

AO = 1/2 AB nên o là trung điểm của AB .     

Phương pháp giải

Chọn câu bao gồm đủ hai điều kiện của định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng.

Ví dụ 7. 

Khi nào ta kết luận được điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB ? Em hãy chọn những câu trả lời

đúng trong các câu trả lời sau :

a) Cho biết IA = IB ;

b) Cho biết AI + IB = AB ;

c) Cho biết AI + IB = AB và IA = IB ;

d) Cho biết IA = IB = AB/2 .

 Hướng dẫn

Câu c), câu d) đúng.

Ví dụ 8.

Xem hình 96. Đo các đoạn thẳng AB, BC, CD, CA rồi điền vào chỗ trống trong các phát biểu sau :

a) Điểm C là trung điểm của … vì…

b) Điểm C không là trung điểm của … vì C không thuộc đoạn thẳng AB.

c) Điểm A không là trung điểm của BC vì…

Hướng dẫn

a) BD vì C nằm giữa B, D và CB = CD (= 2,5 cm);

b) AB ;

c) A không nằm giữa B và C .

Phương pháp giải

Dựa vào nhận xét : khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng đến mỗi đầu đoạn thẳng bằng nửa độ

dài của đoạn thẳng ấy.

Ví dụ 9. Cho đoạn thẳng AB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AM. Giả sử AN = l,5cm.

Tính AB.

Hướng dẫn                         

Trước hết tính AM được AM = 3cm, sau đó tính AB được AB = 6cm.

Ví dụ 10. Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Lấy điểm o nằm giữa A và M.

Hãy chứng tỏ rằng OM = (OB – OA)/2.

Giải

Điểm o nằm giữa A và M nên AO < AM;

M là trung điểm của AB nên AM = MB < AB.

Suy ra AO < AM < AB,

Do đó M nằm giữa o và B, ta có OM = OB – MB         (1)

Mặt khác OM = MA – OA                                             (2)

Từ (1) và (2) suy ra OM + OM = OB – MB + MA – OA hay

2OM = OB – OA, do đó OM= (OB – OA)/2.

Phương pháp giải

Xét từng điểm, chọn điểm nào thỏa mãn định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng.

Ví dụ 11. Tìm trên hình 99, những điểm là trung điểm của đoạn thẳng,

biết rằng AB = BC = CD = DE.

Hướng dẫn

B là trung điểm của đoạn thẳng AC;

C là trung điểm của đoạn thẳng BD; AE;            

D là trung điểm của đoạn thẳng CE.

Ví dụ 12. Cho điểm O nằm giữa A và B. Gọi M và N thứ tự là trung điểm của OA và OB.

Biết AB = a, tính MN.

Giải

M là trung điểm của OA nên M nằm

 giữa A và O ; MO =  1/2 AO . N là trung điểm của OB nên N nằm giữa B và O ; ON = 1/2 OB.

Ta lại có O nằm giữa A và B (đề bài) nên O nằm giữa M và N. Suy ra :

MN = MO + ON = (AO+OB)/2 = AB/2 = a/2.

Trên đây là nội dung tài liệu Các dạng toán về Trung điểm của đoạn thẳng Toán 6. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.