Các dạng toán về đường thẳng đi qua hai điểm Toán 6

CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM

Từ đó suy ra : Hai đường thẳng có hai điểm chung thì chúng trùng nhau.

– Dùng một chữ cái in thường, ví dụ a

– Dùng hai chữ cái in hoa, ví dụ AB

– Dùng hai chữ cái in thường, ví dụ xy.

– Hoặc không có điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng song song) ví dụ hai đường thẳng a và b.

– Hoặc chỉ có một điểm chung (gọi là hai đường thẳng cắt nhau), ví dụ hai đường thẳng m và n.

- Điểm chung của hai đường thẳng gọi là giao điểm của hai đường thẳng đó. Ví dụ O là giao điểm của hai đường thẳng m và n trong hình 29.

Phương pháp giải

Vận dụng tính chất “có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm”.

Ví dụ 1. 

Quan sát hình 30 và cho biết những nhận xét sau đúng hay sai:

a) Có nhiều đường ” không thẳng” đi qua hai điểm A, B.

b) Chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm A, B.

Trả lời

a) Đúng ;             

b) Đúng.

Ví dụ 2. 

Lấy 4 điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua

các cặp điểm. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng ? Đó là những đường thẳng nào ?

Giải

Qua điểm A và mỗi điểm B, C, D có ba đường thẳng là AB, AC, AD. Qua điểm B và mỗi điểm C,

D có hai đường thẳng là BC, BD (không qua A). Qua điểm C và D còn lại có một đường thẳng là

CD (không qua A, B).

Chú ý : Có thể trình bày ngắn gọn như sau :

điểm : A, B, c, D

6 đường thẳng : AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Ví dụ 3.

Lấy 4 điểm M, N, P, Q trong đó ba điểm M, N, P thẳng hàng và điểm Q nằm ngoài đường

thẳng trên. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Có bao nhiêu đường thẳng (phân biệt),

viết tên các đường thẳng đó.

Hướng dẫn

– Qua ba điểm M, N, P thẳng hàng chỉ có một đường thẳng.

– Xét tiếp điểm Q với mỗi điểm M, N, P.

Đáp số: 4 đường thẳng.

Ví dụ 4. 

a) Tại sao không nói : “Hai điểm thẳng hàng” ?

b) Cho ba điểm A, B, C trên trang giấy và một thước thẳng (không chia khoảng). Phải kiểm tra

như thế nào để biết được ba điểm đó có thẳng hàng hay không ?

Hướng dẫn

a) Qua hai điểm bao giờ cũng có 1 đường thẳng nên ta không nói hai điểm thẳng hàng.

b) Đặt cạnh thước đi qua hai điểm, chẳng hạn A và B. Nếu điểm c nằm trên cạnh thước thì ba

điểm đó thẳng hàng, trái lại thì ba điểm đó không thẳng hàng.

Ví dụ 5. Cho trước 10 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.

Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm.

a) Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng ?

b) Nếu thay 10 điểm bằng n điểm (-n  ∈  N, n  ≤ 2 ) thì vẽ được bao nhiêu đường thẳng.

Giải

* Nhận xét : Trong bài tập này, số điểm cho trước lk nhiều (tới 10 điểm). Nếu ta dùng cách

này liệt kê sẽ mất thời gian, có thể nhầm lẫn nên ta sẽ dùng lập luận để tính toán.

* Chọn một trong số các điểm đã cho rồi nối điểm đó với 9 điểm còn lại ta được 9 đường

thẳng. Làm như vậy với tất cả 10 điểm ta được đường thẳng. Nhưng như thế thì mỗi đường

thẳng đã được tính 2 lần (vì đường thẳng AB với đường thẳng BA chỉ là một) do đó thực sự

chỉ có  (9.10)/2 = 45 (đường thẳng). .

* Cũng lập luận như trên, với n điểm (n  ∈  N ; n  ≥ 2)

thì số đường thẳng vẽ được sẽ là  2(n-1)/2. .

Ví dụ 6. Có 21 người dự một cuộc họp mặt. Mọi người đều bắt tay nhau. Hỏi có bao nhiêu cái

bắt tay ?

Hướng dẫn

Coi mỗi người như một điểm. Mỗi cái bắt tay giữa hai người như một đường thẳng qua hai

điểm.

Áp dụng công thức  với n =n (n-1)/2   ta được 210 cái bắt tay.

Ví dụ 7. Cho trước một số điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường

thẳng đi qua các cặp  điểm. Biết tổng số đường thẳng vẽ được là 55. Hỏi có tất cả bao nhiêu

điểm cho trước ?

Hướng dẫn

Gọi số điểm cho trước là n.

Ta có : n(n-1)/2= 55 ; n(n – 1) = 110 ; n(n -1) = 11.10. Vậy : n = 11.

Phương pháp giải

Nếu trong đề bài cho :

– A là giao điểm của hai đường thẳng ;

– Hai đường thẳng cắt nhau tại A thì hai đường thẳng có một điểm chung, đó chính là điểm A.

Ví dụ 8. 

Vẽ hình 33 rồi tìm điểm Z trên đường thẳng d1 và điểm T trên đường thẳng d₂ sao cho X , Z , T

thẳng hàng và Y, Z, T thẳng hàng.

Giải

Phân tích : 

* Ba điểm X, Z, T thẳng hàng vậy X nằm trên đường thẳng ZT.

* Ba điểm Y, Z, T thẳng hàng vậy Y nằm trên đường thẳng ZT.

Suy ra X, Y nằm trên đường thẳng ZT, do đó 4 điểm X, Y, Z, T thẳng hàng.

* Cách vẽ : Vẽ đường thẳng XY cắt đường thẳng d1 tại Z, cắt đường thẳng d₂ tại T.

Ví dụ 9. 

Vẽ hình theo cách diễn đạt sau :

a) M là giao điểm của hai đường thẳng p và q.

b) Hai đường thẳng m và n cắt nhau tại A , đường thẳng p cắt n tại B và cắt m tại c.

c) Đường thẳng MN và đường thẳng PQ cắt nhau tại o.

Hướng dẫn

Có thể vẽ như hình 35a , b , c.

Ví dụ 10. 

Xem hình 36 rồi điền vào chỗ trống :

Trả lời

b) 3 ; c) 4 đường thẳng, 6 giao điểm ; d) 5 đường thẳng, 10 giao điểm.

Ví dụ 11. Cho biết 3 đường thẳng m, n, p cùng đi qua một điểm và 3 đường thẳng m, n, q cùng

đi qua một điểm. Hãy chứng tỏ rằng cả 4 đường thẳng m, n, p, q cùng đi qua một điểm.

Giải

Theo đề bài, 3 đường thẳng m, n, p cùng đi qua một điểm, giả sử đó là điểm A. Vậy A là điểm

chung của hai đường thẳng n và p.

Ba đường thẳng n, p, q cùng đi qua một điểm, giả sử đó là điểm B. Vậy B là điểm chung của hai đường thẳng n và p.

Hai đường thẳng phân biệt n và p mà có điểm chung thì chỉ có một điểm chung duy nhất nên

điểm A và B phải trùng nhau. Vậy 4 đường thẳng m, n, p, q cùng đi qua một điểm .

Chú ý:

– Ba hay nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là nhiều đường thẳng đồng quy.

– Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định được giao điểm của hai

đường thẳng nào đó rồi chứng minh các đường thẳng còn lại đều đi qua giao điểm này.

Ví dụ 12. Cho 6 đường thẳng đôi một cắt nhau trong đó không có ba đường thẳng nào đồng

quy. Tính số giao điểm của chúng.

Hướng dẫn

Bạn có thể dùng công thức  n(n-1)/2  trong đó n là số đường thẳng.

Đáp số: 15 giao điểm.

Phương pháp giải

Chứng minh các điểm này thuộc hai (hay nhiều) đường thẳng mà các đường thẳng này có hai

điểm chung.

Ví dụ 13. Cho bốn điểm A, B, C, D sao cho C nằm giữa hai điểm A và D ; điểm D nằm giữa

hai điểm C và B. Hãy chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.

Giải

Theo đề bài, điểm C nằm giữa hai điểm A  và D nên ba điểm A, C, D cùng nằm trên một

đường thẳng. Điểm D nằm giữa hai điểm C và B nên ba điểm C, B, D cùng nằm trên một

đường thẳng.

Hai đường thẳng này có hai điểm chung là C, D nên chúng phải trùng nhau, suy ra 4 điểm A, B,

C, D thẳng hàng.

Ví dụ 14. Cho 4 điểm A , B, C , D trong đó 3 điểm A , B, C thẳng hàng;

3 điểm B, C , D thẳng hàng. Hỏi 4 điểm A , B, C , D có thẳng hàng không ? Vì sao ?

Giải

Ba điểm A, B, c thẳng hàng nên chúng   cùng nằm trên một đường thẳng.

Ba điểm B, C, D thẳng hàng nên chúng  cùng nằm trên một đường thẳng. Hai đường thẳng này

có 2 điểm chung là B và C nên chúng phải trùng nhau, suy ra 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng.

Trên đây là nội dung tài liệu Các dạng toán về đường thẳng đi qua hai điểm Toán 6. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.