Các dạng toán về Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ và các phép toán với số thập phân Toán 7

CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ THẬP PHÂN

Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu |x| là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên trục số.

|x| = x khi x ≥ 0

|x| = -x khi x <0

– Để cộng, trừ, nhân, chia số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi làm theo quy tắc các phép tính đã biết về phân số

– Trong thực hành ta thường cộng, trừ, nhân hai số thập phân theo các quy tắc về giá trị tuyệt đối và về dấu tương tự như đối với số nguyên

– Khi chia số thập phân x cho số thập phân y (y ≠ 0), ta áp dụng quy tắc: Thương của hai số thập phân x, y là thương của |x| và |y| với dấu “+” đằng trước nếu x và y cùng dấu và dấu “-” đằng trước nếu x và y trái dấu

Phương pháp giải 

– Cần nắm vững định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

|x| = x nếu x ≥ 0;

|x| = -x nếu x < 0.

– Các tính chất rất hay sử dụng của giá trị tuyệt đối:

Với mọi x ∈ Q: |x| ≥ 0 ; |x| = |-x| ; |x| ≥ x

Ví dụ 1. 

Tìm |x|, biết:

Ví dụ 2. 

1) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. |-2,5| = 2,5;

B. |-2,5| = -2,5;

C.|-2,5| = -(-2,5)

2) Tìm x, biết:

a) |x| = 1/5;	b) x = ±0,37;
c) |x| = 0;	d)

Giải

1) Các khẳng định đúng là: a) và c)

2)

a) x = ±1/5;	b) x = ±0,37;
c) x = 0;

 Ví dụ 3.

Tìm x biết:

a) |x – 1,7| = 2,3

b) x = ±1 + 2/3

Giải 

a) Bài này có thể giải theo hai cách:

Cách 1: (Căn cứ vào định nghĩa của giá trị tuyệt đối)

– Nếu x – 1,7 ≥ 0 tức là x ≥ 1,7 thì |x – 1,7| = x – 1,7

Trong trường hợp này ta có: x – 1,7 = 2,3

x = 2,3 + 1,7

x = 4 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 1,7)

– Nếu x – 1,7 < 0 tức là x <1,7 thì

|x – 1,7| = -(x – 1,7) = 1,7 – x

Trong trường hợp này ta có :

1,7 – x = 2,3

1,7 – 2,3 = x

x = -0,6 (thỏa mãn điều kiện x < 1,7)

Vậy: x = 4, x = -0,6

Cách 2: (Căn cứ vào tính chất |x| = |-x|)

|x – 1,7| = 2,3 suy ra : x – 1,7 = 2,3 (1) hoặc: -(x – 1,7) = 2,3

tức là x – 1,7 = -2,3 (2)

Từ (1) ta có: x = 2,3 + 1,7 = 4

Từ (2) ta có: x = -2,3  + 1,7 = -0,6

Vậy: x = 4, x = -0,6.

b) Hướng dẫn: Viết |x + 3/4| – 1/3 = 0 thành |x + 3/4| = 1/3 rồi giải bằng một trong hai cách như câu a). Đáp số: x = -5/12; x = -13/12.

Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

A = |x – 1/2|;

B = |x + 3/4| + 2.

Giải 

– Với mọi x ∈ Q ta luôn có |x| ≥ 0. Vì vậy: A = |x – 1/2| ≥ 0. Biểu thức A có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x – 1/2 = 0 tức là x = 1/2.

– Ta có |x + 3/4| ≥ 0 nên |x + 3/4| + 2 ≥ 2. Vậy B = |x + 3/4| + 2 có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x + 3/4 = 0 tức là x = -3/4

Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 

C = -|x + 2/5|;

D = 5/17 – |3x – 2|.

Giải

– Với mọi  x ∈ Q, ta có |x| ≥ 0 nên -|x| ≤ 0. Do đó: C = -|x + 2/5| ≤ 0. Biểu thức C có giá trị lớn nhất là 0 khi x + 2/5 = 0 tức là x = -2/5

– Vì -|3x – 2| ≤ 0 nên 5/17 – |3x – 2| ≤ 5/17. Vậy biểu thức D có giá trị lớn nhất là 5/17 khi 3x – 2 = 0 tức là x = 2/3

Ví dụ 6. Chứng minh rằng với mọi x, y ∈ Q ta luôn có: |x + y| ≤ |x| + |y|

Khi nào ta có đẳng thức?

Giải

Với mọi x ∈ Q ta luôn có x ≤ |x| (dấu bằng xảy ra khi x ≥ 0)

a) Nếu x + y ≥ 0 thì |x + y| = x + y

Vì x ≤ |x|, y ≤ |y| với mọi x, y ∈ Q nên: |x + y| = x + y ≤ |x| + |y|

b) Nếu x + y < 0 thì |x + y| = -(x + y) = -x – y

Mà -x ≤ |x|, -y ≤ |y| nên: |x + y| = -x – y ≤ |x| + |y|

Vậy với mọi x, y ∈ Q ta đều có: |x + y| ≤ |x| + |y|. Dấu bằng xảy ra khi x, y cùng dấu hoặc khi ít nhất một số bằng 0.

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất cơ bản của phân số

– \(\frac{a}{b} = \frac{{a.m}}{{b.m}}\) với m ∈ Z và m ≠ 0

–  \(\frac{a}{b} = \frac{{a:m}}{{b:m}}\) với n ∈ ƯC(a,b)

Ví dụ 7.

a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn cùng một số hữu tỉ: 

b) Viết ba phân số cùng biểu diễn số hữu tỉ -3/7

Hướng dẫn

a) Rút gọn các phân số đã cho

Trả lời: Các phân số -27/63 và -36/84 biểu diễn cùng một số hữu tỉ; các phân số -14/35 , -26/65 , 34/-85 biểu diễn cùng một số hữu tỉ

b) Chú ý rằng -3/7 là phân số tối giản nên chỉ cần nhân cả tử và mẫu của nó với cùng một số nguyên khác 0

Phương pháp giải

– Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân chia các số thập phân 

– Chú ý vận dụng các tính chất: giao hoán, kết hợp, phân phối,… trong các trường hợp có thể để việc tính toán được nhanh chóng và chính xác.

Ví dụ 8.

Tính:

a) – 5,17 – 0.469;	b) – 2,05 + 1,73;
c) (- 5,17).( – 3.1);	d) (- 9,18) : 4,25

Đáp số

a) -5,639;

b) -0,32;

c) 16,027

d) -2,16

Ví dụ 9.

Với bài tập: Tính tổng S = (- 2,3) + (+ 41,5) + (- 0,7) + (- 1,5) hai bạn Hùng và Liên đã làm như sau:

Bài làm của Hùng:

S = (- 2,3) + (+ 41,45) + (- 0,7) + (- 1,5) 

= [(- 2,3) + (- 0,7) + (- 1,5)] + 41,5

= (- 4,5) + 41,5

= 37

Bài làm của Liên:

S = (- 2,3) + (+ 41,5) + (- 0,7) + (- 1,5)

= [(- 2,3) + (-0,7)] + [(+ 41,5) + (-1,5)]

= (-3) + 40

= 37

a) Hãy giải thích cách làm của mỗi bạn

b) Theo em nên làm theo cách nào?

Giải 

a) Bạn Hùng cộng các số âm với nhau được  – 4,5 rồi cộng tiếp với 41,5 để được kết quả là 37.

Bạn Liên đã nhóm từng cặp số hạng có tổng là số nguyên được – 3 và 40 rồi cộng 2 số này được 37.

b) Hai cách làm của hai bạn đều áp dụng các tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng để tính được hợp lý nhưng cách của bạn Liên có thể tính nhẩm nhanh hơn. Do đó nên làm theo cách của bạn Liên

Ví dụ 10.

Tính nhanh:

a) 6,3 + (- 3,7) + 2,4 + (- 0,3);

b) (- 4,9) + 5,5 + 4,9 + (- 5,5);

c) 2,9 + 3,7 + (- 4,2) + (- 2,9) + 4,2;

d) (- 6,5).2,8 + 2,8.(- 3,5).

Hướng dẫn 

a) (6,3 + 2,4) + [(-3,7) + (-0,3)];

b) [(-4,9) + 4,9] + [5,5 + (-5,5)];

c) [2,9 + (-2,9)] + [(-4,2) + 4,2] + 3,7;

d) 2,8 + [(-6,5) + (-3,5)] .

Ví dụ 11.

Áp dụng tính chất các phép tính để tính nhanh:

a) (- 2,5.0,38.0,4) – [0,125.3,15.(- 8)];

b) [(- 20,83).0,2 + (- 9,17).0,2] : [2,47.0,5 – (- 3,53).0,5].

Hướng dẫn

a) [(-2,5.0,4).0,38] – [(-8.0,125).3,15]

Đáp số: 2,77

b) [(-20,83 – 9,17).0,2] : [(2,47 + 3,53).0,5]

Đáp số: -2

Phương pháp giải 

Khi so sánh hai số hữu tỉ cần chú ý:

– Số hữu tỉ dương lớn hơn số 0.

– Số hữu tỉ âm nhỏ hơn số 0.

– Trong hai số hữu tỉ âm, số nào có giá trị truyệt đối nhỏ hơn thì số đó lớn hơn

– Có thể sử dụng tính chất “bắc cầu” để so sánh.

Ví dụ 12.

Sắp xếp số hữu tỉ sau theo thứ tự lớn dần:

Ví dụ 13.

Dựa vào tính chất “Nếu x < y và y < z thì x < z”, hãy so sánh:

a) 4/5 và 1,1;

b) -500 và 0,001;

c) 13/38 và -12/-37

⇒ Xem đáp án tại đây

Phương pháp giải

Nắm vững cách sử dụng các nút:

 Ví dụ 14.

Dùng máy tính bỏ túi để tính:

a) (- 3,1597) + (- 2,39);	b) (- 0,793) – (-2,1068);
c) (- 0,5).(- 3,2) + (- 10,1).0,2;	d) 1,2.(- 2,6) + (- 1,4) : 0,7.

Đáp án 

a) -5, 5497;

b) 1,3138;

c) -0,42;

d) -5,12.

Trên đây là nội dung tài liệu Các dạng toán về Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ và các phép toán với số thập phân Toán 7. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.