Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Nghĩa Hồ

TRƯỜNG THCS NGHĨA HỒ

ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1)  \({{x}^{2}}+2014x+2013\) 

2)  \(x(x+2)({{x}^{2}}+2x+2)+1\) 

Bài 2 (4 điểm)

1) Tìm \(a,\text{ }b\) biết \(\frac{1+2a}{15}=\frac{3b}{23+7a}=\frac{7-3a}{20}\)

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A={{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy+2x-4y+2013\)

Bài 3 (4 điểm)

1) Cho \({{a}_{1}},{{a}_{2}},...{{a}_{2013}}\) là các số tự nhiên có tổng bằng \({{2013}^{2014}}\).

Chứng minh rằng: \(B=a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+...+a_{2013}^{3}\) chia hết cho 3.

2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn \(2{{a}^{2}}+a=3{{b}^{2}}+b\).

Chứng minh rằng: a-b và 3a+3b+1 là các số chính phương.

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC. Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB tại M. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại N.

1) Gọi O là trung điểm của AI. Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng.

2) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC lần lượt tại H, K, D.

Chứng minh rằng MH + NK = AD.

3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC.

ĐÁP ÁN

Bài 1

1) \({{x}^{2}}+2014x+2013={{x}^{2}}+2013x+x+2013\) 

\(=x(x+2013)+(x+2013)\)

\(=(x+1)(x+2013)\)

\(x(x+2)({{x}^{2}}+2x+2)+1\) \(=({{x}^{2}}+2x)({{x}^{2}}+2x+2)+1\)

2) \(={{({{x}^{2}}+2x)}^{2}}+2({{x}^{2}}+2x)+1\)  

\(={{({{x}^{2}}+2x+1)}^{2}}\)  

\(={{(x+1)}^{4}}\)  

Bài 2

1) Từ \(\frac{1+2a}{15}=\frac{7-3a}{20}\) có \(20(1+2a)=15(7-3a)\) 

\(\Rightarrow a=1\) 

Thay a=1 vào tỉ lệ thức \(\frac{1+2a}{15}=\frac{3b}{23+7a}\) ta được \(\frac{1+2.1}{15}=\frac{3b}{23+7.1}\). Suy ra b=2

Vậy a=1, b=2.

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1. Cho phân thức \(A=\frac{\left( 5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}+5{{z}^{2}} \right){{\left( x+y+z \right)}^{2}}+5{{\left( xy+yz+xz \right)}^{2}}}{{{\left( 5x+5y+5z \right)}^{2}}-\left( 25xy+25yz+25xz \right)}\) 

a) Tìm các giá trị của x, y, z để phân thức xác định

b) Rút gọn A

Câu 2 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử \({{a}^{10}}+{{a}^{5}}+1\).

b) Cho x+y=1 và \(xy\ne 0\). Chứng minh rằng \(\frac{x}{{{y}^{3}}-1}-\frac{y}{{{x}^{3}}-1}+\frac{2\left( x-y \right)}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+3}=0\).

Câu 3 (2 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh:

a) \(\frac{1}{OI}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\).

b) \(\frac{2}{IJ}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\).

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: \(\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right){{\left( x+y+z \right)}^{2}}+{{\left( xy+yz+xz \right)}^{2}}\) 

Câu 2 (2 điểm)

a) Một số điện thoại có 10 chữ số là \(098716\overline{abcd}\). Hãy tìm bốn số cuối của bốn số điện thoại đó, biết rằng bốn số này tạo thành một số chính phương và nếu ta thêm vào mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng được một số chính phương.

Câu 3 (3 điểm)

1) Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB=6cm, AC=8cm. M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Khi đó tứ giác ADME có thể đạt được diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1. Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng ab-a-b+1 chia hết cho 48.

Câu 2

a) Giải phương trình: \({{\left( 2{{x}^{2}}+x-2016 \right)}^{2}}+4{{\left( {{x}^{2}}-5x-2015 \right)}^{2}}=4\left( 2{{x}^{2}}+x-2016 \right)\left( {{x}^{2}}-5x-2015 \right)\)

b) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn abcd=1. Tính giá trị của biểu thức

\(M=\frac{1}{abc+ab+a+1}+\frac{1}{bcd+bc+b+1}+\frac{1}{acb+cd+c+1}+\frac{1}{abd+ad+d+1}\)

Câu 3. Cho đa thức \(P\left( x \right)\) thỏa mãn khi chia cho x-3 thì dư 17; khi chia cho x-1 dư 3. tìm dư của phép chia \(P\left( x \right)\) cho \({{x}^{2}}-4x+3\)

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1. Chứng minh rằng:

a) Nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9.

b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Câu 2. Cho biểu thức \(B=\left( \frac{1-{{x}^{3}}}{1-x}-x \right):\frac{1-{{x}^{2}}}{1-x-{{x}^{2}}+{{x}^{3}}}\)

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của biểu thức B tại \(x=-1\frac{2}{3}\)

c) Tìm giá trị của x để B<0

Câu 3

a) Giải phư­ơng trình \({{\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)}^{3}}+{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{3}}={{\left( 7-5x \right)}^{3}}\)

b) Cho \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) và \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\). Chứng minh rằng \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1\).

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Nghĩa Hồ. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.