Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Hồng Giang

TRƯỜNG THCS HỒNG GIANG

ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1. (6,0 điểm)

a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau \(9{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}-18x+4z-6y+20=0\).

b) Giải phương trình \({{x}^{4}}-30{{x}^{2}}+31x-30=0\)

Bài 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình \(\frac{148-x}{25}+\frac{169-x}{23}+\frac{186-x}{21}+\frac{199-x}{19}=10\)

b) Chứng minh rằng \(A={{n}^{3}}+6{{n}^{2}}+8n\) chia hết cho 48 với n chẵn.

Bài 3 (3.0 điểm): Cho biểu thức:  \(P\,=\,\frac{1}{{{x}^{2}}-x}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+2}+\frac{1}{{{x}^{2}}-5x+6}+\frac{1}{{{x}^{2}}-7x+12}+\frac{1}{{{x}^{2}}-9x+20}\) 

a)  Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.

b)  Rút gọn biểu thức P.

Bài 4. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A \(\left( \text{AC }\rangle \text{ AB} \right)\). Vẽ đường cao AH \(\left( \text{H}\in \text{BC} \right)\). Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.

a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC.

b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.

ĐÁP ÁN

Bài 1: a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: \(9{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}-18x+4z-6y+20=0\).

Ta có:

\(9{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}-18x+4z-6y+20=0\) 

\({{\left( 3x \right)}^{2}}-2.3x.3+{{3}^{2}}+{{y}^{2}}-2.y.3+{{3}^{2}}+2\left( {{z}^{2}}+2z+1 \right)=0\)

\({{\left( 3x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+2{{\left( z+1 \right)}^{2}}=0\) 

Vì ${{\left( 3x-3 \right)}^{2}}\ge 0;{{\left( y-3 \right)}^{2}}\ge 0;2{{\left( z+1 \right)}^{2}}\ge 0$ với mọi x, y, z nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 3\\
z =  - 1
\end{array} \right.\) 

b) Giải phương trình: ({{x}^{4}}-30{{x}^{2}}+31x-30=0\)

Hướng dẫn

\({{x}^{4}}-30{{x}^{2}}+31x-30=0\) 

\(\begin{array}{l}
{x^4} - \left( {30{x^2} - 30x + 30} \right) + x = 0\\
\left( {{x^4} + x} \right) - 30\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 0\\
x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 30\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 0\\
\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 30} \right) = 0
\end{array}\)  

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1. (3,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \({{x}^{5}}+{{x}^{4}}+1\)                     

b) \({{\left( {{x}^{2}}~8 \right)}^{2}}+36\)                      

c) \({{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}5x\left( {{x}^{2}}x+1 \right)+4{{x}^{2}}\)

Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A={{a}^{4}}-2{{a}^{3}}+3{{a}^{2}}-4a+5\).

Câu 3. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức \(\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)\left( x+8 \right)+2016\) cho đa thức \({{x}^{2}}+10x+21\).

Câu 4. (2,0 điểm). Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G. Đường thẳng d bất kỳ đi qua G và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: \(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3\).

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1

a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau \(9{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}-18x+4z-6y+20=0\).

b) Giải phương trình \({{x}^{4}}-30{{x}^{2}}+31x-30=0\)

Câu 2

a) Giải phương trình \(\frac{148-x}{25}+\frac{169-x}{23}+\frac{186-x}{21}+\frac{199-x}{19}=10\)

b) Chứng minh rằng \(A={{n}^{3}}+6{{n}^{2}}+8n\) chia hết cho 48 với n chẵn.

Câu 3

a) Tìm các giá trị của x để biểu thức:

\(P=\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+6 \right)\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3.

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) \({{\left( x+y+z \right)}^{3}}-{{x}^{3}}-{{y}^{3}}-{{z}^{3}}\)

b) \({{x}^{4}}+2014{{x}^{2}}+2013x+2014\)

Bài 2

a) Tìm x, biết: \(\frac{{{\left( 2013-x \right)}^{2}}+\left( 2013-x \right)\left( x-2014 \right)+{{\left( x-2014 \right)}^{2}}}{{{\left( 2013-x \right)}^{2}}-\left( 2013-x \right)\left( x-2014 \right)+{{\left( x-2014 \right)}^{2}}}=\frac{19}{49}\)

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có \(B={{a}^{5}}-a\) chia hết cho 30.

Bài 3 (3 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1

a) Tìm \(x;y\in Z\) thoả mãn \(5{{x}^{2}}-4xy+{{y}^{2}}=169\).

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức: \(A=\frac{n}{3}+\frac{{{n}^{2}}}{2}+\frac{{{n}^{3}}}{6}\) có giá trị là một số nguyên.

Câu 2

a) Cho hai số \(a>b>0\). So sánh hai số \(x=\frac{1+a}{1+a+{{a}^{2}}}\) và \(y=\frac{1+b}{1+b+{{b}^{2}}}\).

b) Tìm x, biết \(\frac{x+1}{1000}+\frac{x+2}{999}+\frac{x+3}{998}+\frac{x+4}{997}+\frac{x+5}{996}+\frac{x+6}{995}+6=0\).

Câu 3

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I. Chứng minh tam giác AID là tam giác cân.

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Hồng Giang. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.