Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Ngọc Sơn

TRƯỜNG THCS NGỌC SƠN

ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số 1

Câu 1

a) Tìm thoả mãn \(5{x^2} - 4xy + {y^2} = 169\) 

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức: \(A = \frac{n}{3} + \frac{{{n^2}}}{2} + \frac{{{n^3}}}{6}\) có giá trị là một số nguyên.

Câu 2

a) Cho hai số \(a > b > 0\). So sánh hai số \(x = \frac{{1 + a}}{{1 + a + {a^2}}}\) và \(y = \frac{{1 + b}}{{1 + b + {b^2}}}\).

b) Tìm x, biết \(\frac{{x + 1}}{{1000}} + \frac{{x + 2}}{{999}} + \frac{{x + 3}}{{998}} + \frac{{x + 4}}{{997}} + \frac{{x + 5}}{{996}} + \frac{{x + 6}}{{995}} + 6 = 0\) 

Câu 3

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I. Chứng minh tam giác AID là tam giác cân.

Câu 4

Tìm cặp  số nguyên \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn phương trình:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4064497 = 2\left( {15x + 4y + 2014z} \right)\)  

Câu 5. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho \(n + 1\) và \(2n + 1\) đều là các số chính phương thì n là bội số của 24.

ĐÁP ÁN

Câu 1

a) Ta có:

\(5{x^2} - 4xy + {y^2} = 169\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 4{x^2} - 4xy + {y^2} + {x^2} = 169\\
 \Leftrightarrow {\left( {2x - y} \right)^2} + {x^2} = 169
\end{array}\) 

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x - y} \right)^2} + {x^2} = 144 + 25\left( I \right)\\
{\left( {2x - y} \right)^2} + {x^2} = 169 + 0\left( {II} \right)
\end{array} \right.\) 

Từ (I) ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x - y} \right)^2} = {12^2}\\
{x^2} = {5^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  \pm 5\\
y =  \mp 2
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x =  \pm 5\\
y =  \mp 22
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x - y} \right)^2} = {5^2}\\
{x^2} = {12^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  \pm 12\\
y =  \mp 19
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x =  \pm 12\\
y =  \mp 29
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Từ (II) ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x - y} \right)^2} = {13^2}\\
{x^2} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y =  \pm 13
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x - y} \right)^2} = 0\\
{x^2} = {13^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  \pm 13\\
y =  \pm 26
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Vậy \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ \begin{array}{l}
\left( {5; - 2} \right);\left( {5; - 22} \right);\left( { - 5;2} \right);\left( { - 5;22} \right);\left( {12; - 19} \right);\left( {12; - 29} \right)\\
\left( { - 12;19} \right);\left( { - 12;29} \right);\left( {0;13} \right);\left( {0; - 13} \right);\left( {13;26} \right);\left( { - 13; - 26} \right)
\end{array} \right\}\) 

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Đề số 2

Câu 1 

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử \({x^2} - 2xy + {y^2} + 4x - 4y - 5\) 

b) Chứng minh \(\forall n \in {N^*}\) thì \({n^3} + n + 2\) là hợp số.

c) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

Câu 2

a) Giải phương trình \(\frac{{x - 1}}{{2016}} + \frac{{x - 2}}{{2015}} + \frac{{x - 3}}{{2014}} + ... + \frac{{x - 2016}}{1} = 2016\) 

b) Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = {a^3} + {b^3} + {c^3} = 1\). Tính \(S = {a^2} + {b^{2014}} + {c^{2015}}\) 

Câu 3

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 2{x^2} + 3{y^2} + 4xy - 8x - 2y + 18\) 

b) Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác.

Chứng minh \(\frac{{ab}}{{a + b - c}} + \frac{{bc}}{{ - a + b + c}} + \frac{{ac}}{{a - b + c}} \ge a + b + c\) 

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Đề số 3

Câu 1: (4.0 điểm)

Cho biểu thức M = \(\frac{{{x^4} + 2}}{{{x^6} + 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}\) 

1.  Rút gọn M                             

2. Tìm x để M ≥ 1 

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M.

Câu 2: (4.0 điểm)

1. Cho số nguyên tố p > 3 và 2 số nguyên dương a, b sao cho: p² + a² = b² . Chứng minh a chia hết cho 12

2. Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: \(\frac{{1 - 2x}}{{1 - x}} + \frac{{1 - 2y}}{{1 - y}} = 1\) 

Chứng minh M = \({{\rm{x}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^2}{\rm{ - xy}}\) là bình phương của một số hữu tỷ.

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Đề số 5

Câu 1. (2,0 điểm)

a)  Phân tích đa thức sau thành nhân tử

\(\left( {{\rm{ x}} + {\rm{ 2}}} \right)\left( {{\rm{ x }} + {\rm{ 3}}} \right)\left( {{\rm{ x }} + {\rm{ 4}}} \right)\left( {{\rm{ x }} + {\rm{ 5}}} \right){\rm{ }} - {\rm{ 120}}\) 

b)  Rút gọn biểu thức: \(A = \left( {\frac{x}{{{x^2} - 4}} + \frac{2}{{2 - x}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\left( {x - 2 + \frac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right)\) rồi tìm x sao cho \(\left| A \right| =  - A\)  

Câu 2. (2,0 điểm)  Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{2020}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{x + 1}}}}{{{\rm{2019}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{x + 2}}}}{{{\rm{2018}}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{x + 3}}}}{{{\rm{2017}}}}{\rm{ = x  + 2016}}\)  

b) \(\left( {{\rm{3x }} + {\rm{ 4}}} \right)\left( {{\rm{x }} + {\rm{ 1}}} \right){\left( {{\rm{6x }} + {\rm{ 7}}} \right)^{\rm{2}}}\; = {\rm{ 6}}\) 

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tìm x, y nguyên dương biết: x² - y² + 2x - 4y – 10 = 0 

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ là số chính phương.

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Ngọc Sơn. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.