Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Lương Phong

TRƯỜNG THCS LƯƠNG PHONG

ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 1

a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau \(9{x^2} + {y^2} + 2{z^2} - 18x + 4z - 6y + 20 = 0\) 

b) Giải phương trình: \({x^4} - 30{x^2} + 31x - 30 = 0\) 

Câu 2

a) Giải phương trình: \(\frac{{148 - x}}{{25}} + \frac{{169 - x}}{{23}} + \frac{{186 - x}}{{21}} + \frac{{199 - x}}{{19}} = 10\) 

b) Chứng minh rằng \(A = {n^3} + 6{n^2} + 8n\) chia hết cho 48 với n chẵn.

Câu 3

a) Tìm các giá trị của x để biểu thức: \(P = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 6} \right)\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3.

Câu 4

Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ \(ME \bot AB\), \(MF \bot AD\).

a) Chứng minh \(DE = CF\) 

b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.

c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

Câu 5

a) Chứng minh rằng \(P = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^4}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < 1\) 

b) Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn \(a + b + c = 2016\) và \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{{2016}}\) 

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số đối nhau.

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2 điểm).

a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: \(9{x^2} + {y^2} + 2{z^2} - 18x + 4z - 6y + 20 = 0\) 

Ta có:

\(9{x^2} + {y^2} + 2{z^2} - 18x + 4z - 6y + 20 = 0\) 

\({\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.3 + {3^2} + {y^2} - 2.y.3 + {3^2} + 2\left( {{z^2} + 2z + 1} \right) = 0\) 

\({\left( {3x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + 2{\left( {z + 1} \right)^2} = 0\) 

Vì  với mọi x, y, z nên:

\({\left( {3x - 3} \right)^2} \ge 0;{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0;2{\left( {z + 1} \right)^2} \ge 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 3\\
z =  - 1
\end{array} \right.\)  

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử \(A = \left( {a + 1} \right)\left( {a + 3} \right)\left( {a + 5} \right)\left( {a + 7} \right) + 15\) 

b) Cho \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right)\) 

Chứng minh rằng \(a = b = c\) 

Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {a^4} - 2{a^3} + 3{a^2} - 4a + 5\).

Câu 3. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x + 8} \right) + 2016\) cho đa thức .

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho . Xác định vị trí của điểm D, E sao cho:

a) DE có độ dài nhỏ nhất.

b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1(4.0 điểm) : Cho biểu thức  A = \(\frac{x}{{x + 1}} - \frac{{3 - 3x}}{{{x^2} - x + 1}} + \frac{{x + 4}}{{{x^3} + 1}}\) 

a) Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh rằng giá trị của  A luôn dương  với mọi x ≠ - 1

Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình:

a) \({x^2} - 3x + 2 + \left| {x - 1} \right| = 0\) 

b) \(8{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + 4{\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} - 4\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right){\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x + 4} \right)^2}\) 

Câu 3(3.0 điểm) :  Cho xy ≠ 0 và x + y = 1.

Chứng minh rằng: \(\frac{x}{{{y^3} - 1}} + \frac{y}{{{x^3} - 1}} - \frac{{2\left( {xy - 2} \right)}}{{{x^2}{y^2} + 3}}\) = 0

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bài 1 (4 điểm)

Cho biểu thức  A = \(\left( {\frac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} - x} \right):\frac{{1 - {x^2}}}{{1 - x - {x^2} + {x^3}}}\) với x khác -1 và 1.

a, Rút gọn biểu thức A.

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x \( =  - 1\frac{2}{3}\) .

c, Tìm giá trị của x để A < 0.

Bài 2 (3 điểm)

Cho \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 4.\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right)\) 

Chứng minh rằng a = b = c.

Bài 3 (3 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

............

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) \({\left( {x + y + z} \right)^3} - {x^3} - {y^3} - {z^3}\)  

b) \({x^4} + 2014{x^2} + 2013x + 2014\)  

Câu 2

a) Tìm x, biết: \(\frac{{{{\left( {2013 - x} \right)}^2} + \left( {2013 - x} \right)\left( {x - 2014} \right) + {{\left( {x - 2014} \right)}^2}}}{{{{\left( {2013 - x} \right)}^2} - \left( {2013 - x} \right)\left( {x - 2014} \right) + {{\left( {x - 2014} \right)}^2}}} = \frac{{19}}{{49}}\) 

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có \(B = {a^5} - a\) chia hết cho 30.

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Lương Phong. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.