Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Quang Minh

TRƯỜNG THCS QUANG MINH

ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1. a) Tìm n để \(B = \frac{{{n^4} + 3{n^3} + 2{n^2} + 6n - 2}}{{{n^2} + 2}}\) có giá trị là một số nguyên.

b) Tìm n để \(D = {n^5} - n + 2\)  là số chính phương \(\left( {n \ge 2} \right)\).

Bài 2. Giải phương trình:

a) \({x^2} - 3x + 2 + \left| {x - 1} \right| = 0\).

b) \(8{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + 4{\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} - 4\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right){\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x + 4} \right)^2}\) 

Bài 3. Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\) và \(a + b + c + ab + ac + bc = 6\). Tính giá trị của biểu thức: \(A = \frac{{{a^{22}} + {b^{12}} + {c^{1994}}}}{{{a^{22}} + {b^{12}} + {c^{2013}}}}\) 

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ đường thẳng tùy ý cắt BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G. Chứng minh:

a) \(A{E^2} = EK.EG\) 

b) \(\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}\) 

c) Khi đường thẳng d thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi.

ĐÁP ÁN

Bài 1

a) \(B = \frac{{{n^4} + 3{n^3} + 2{n^2} + 6n - 2}}{{{n^2} + 2}} = {n^2} + 3n - \frac{2}{{{n^2} + 2}}\)  

B có giá trị nguyên khi \(\Leftrightarrow 2 \vdots {n^2} + 2\) 

\({n^2} + 2\) là ước tự nhiên của 2.

\({n^2} + 2 = 1\) không có giá trị nào thỏa mãn.

\({n^2} + 2 = 2\) \(\Leftrightarrow n = 0\) thì B nhận giá trị nguyên.

b) \(D = {n^5} - n + 2\)   

\(\begin{array}{l}
D = n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right) + 2\\
D = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right) + 2
\end{array}\)

\(D = 5n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) + n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - 4} \right) + 2\) 

\(D = 5n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) + n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n + 2} \right) + 2\) 

Vì \(5n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) \vdots 5\) và \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 5\) 

Vậy D chia 5 dư 2

Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải số chính phương.

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1 (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức \(A = \left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)...\left( {{2^{256}} + 1} \right) + 1\) 

b) Cho \({x^2} = {y^2} + {z^2}\). Chứng minh rằng \(\left( {5x - 3y + 4z} \right)\left( {5x - 3y - 4z} \right) = {\left( {3x - 5y} \right)^2}\) 

Câu 2 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử \({a^{10}} + {a^5} + 1\) 

b) Cho x + y = 1 và \(xy \ne 0\). Chứng minh rằng \(\frac{x}{{{y^3} - 1}} - \frac{y}{{{x^3} - 1}} + \frac{{2\left( {x - y} \right)}}{{{x^2}{y^2} + 3}} = 0\) 

Câu 3 (2 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh:

a) \(\frac{1}{{OI}} = \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{CD}}\) 

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1 (2 điểm)

Cho \(M = \left( {\frac{{{a^2} + 3a{\rm{ + 2}}}}{{{a^2} + a - 2}} - \frac{{{a^2} + a}}{{a - 1}}} \right).\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right)\) 

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M.

b) Tìm a sao cho \(\frac{1}{M} - \frac{{a + 1}}{8} \ge \frac{{ - 1}}{4}\).

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình \(2x{\left( {8x - 1} \right)^2}\left( {4x - 1} \right) = 9\).

b) Với mọi \(n \in \) thì \({n^5}\) và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.

Câu 3 (3 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BC tại F.

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bài 1

Cho \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 4.\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right)\) 

Chứng minh rằng \(a = b = c\) 

Bài 2

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Bài 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \({a^4} - 2{a^3} + 3{a^2} - 4a + 5\) 

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(P = 2{a^3} + 7{a^2}b + 7a{b^2} + 2{b^3}\) 

b) Giải phương trình: \({x^3} + 3{x^2} + 2x = 0\) 

Câu 2

a) Chứng minh rằng \({n^3} + 11n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

b) Cho \(x + y = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A = {x^2} + {y^2}\).

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Quang Minh. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.