Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Mỹ An

TRƯỜNG THCS MỸ AN

ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1

a) Tìm \(x;y\in Z\) thoả mãn \(5{{x}^{2}}-4xy+{{y}^{2}}=169\).

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức: \(A=\frac{n}{3}+\frac{{{n}^{2}}}{2}+\frac{{{n}^{3}}}{6}\) có giá trị là một số nguyên.

Câu 2

a) Cho hai số \(a>b>0\). So sánh hai số \(x=\frac{1+a}{1+a+{{a}^{2}}}\) và \(y=\frac{1+b}{1+b+{{b}^{2}}}\).

b) Tìm x, biết \(\frac{x+1}{1000}+\frac{x+2}{999}+\frac{x+3}{998}+\frac{x+4}{997}+\frac{x+5}{996}+\frac{x+6}{995}+6=0\).

Câu 3.

1) Giải phương trình:

a) \(3{{x}^{2}}+x-6-\sqrt{2}=0.\)

b) \(\frac{2}{{{x}^{2}}-x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x-1}{{{x}^{3}}+1}.\)

2) Một số thập phân có phần nguyên là số có một chữ số. Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó, sau đó chuyển dấu phẩy sang trái 1 chữ số thì được số mới bằng \(\frac{9}{10}\) số ban đầu. Tìm số thập phân ban đầu.

Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? 

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK.

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC².

Câu 5. (2,0 điểm).

a) Cho \(a,b\in \mathbb{Z}\). Chứng minh rằng nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) chia hết cho 13.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(A=x\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+x-4 \right).\)

ĐÁP ÁN

Câu 1

a) Ta có:

\(5{{x}^{2}}-4xy+{{y}^{2}}=169\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 4{x^2} - 4xy + {y^2} + {x^2} = 169\\
 \Leftrightarrow {\left( {2x - y} \right)^2} + {x^2} = 169
\end{array}\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x - y} \right)^2} + {x^2} = 144 + 25\left( I \right)\\
{\left( {2x - y} \right)^2} + {x^2} = 169 + 0\left( {II} \right)
\end{array} \right.\) 

Từ (I) ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x - y} \right)^2} = {12^2}\\
{x^2} = {5^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  \pm 5\\
y =  \mp 2
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x =  \pm 5\\
y =  \mp 22
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x - y} \right)^2} = {5^2}\\
{x^2} = {12^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  \pm 12\\
y =  \mp 19
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x =  \pm 12\\
y =  \mp 29
\end{array} \right.
\end{array}\)

Từ (II) ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x - y} \right)^2} = {13^2}\\
{x^2} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y =  \pm 13
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2x - y} \right)^2} = 0\\
{x^2} = {13^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  \pm 13\\
y =  \pm 26
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Vậy \(\left( {x,y} \right) \in \left\{ \begin{array}{l}
\left( {5; - 2} \right);\left( {5; - 22} \right);\left( { - 5;2} \right);\left( { - 5;22} \right);\left( {12; - 19} \right);\left( {12; - 29} \right)\\
\left( { - 12;19} \right);\left( { - 12;29} \right);\left( {0;13} \right);\left( {0; - 13} \right);\left( {13;26} \right);\left( { - 13; - 26} \right)
\end{array} \right\}\) 

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x⁴ + 2009x² + 2008x + 2009                      

b) 81x⁴ + 4                  

c)  (x² + 3x + 2)(x²+ 11x + 30) – 5

Câu 2

a) Giải phương trình \(\frac{x-1}{2016}+\frac{x-2}{2015}+\frac{x-3}{2014}+...+\frac{x-2016}{1}=2016\) 

b) Cho \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=1\). Tính \(S={{a}^{2}}+{{b}^{2014}}+{{c}^{2015}}\) 

Câu 3

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4xy-8x-2y+18\)

b) Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác.

Chứng minh \(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}\ge a+b+c\)

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1 (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức \(A=\left( 2+1 \right)\left( {{2}^{2}}+1 \right)\left( {{2}^{4}}+1 \right)...\left( {{2}^{256}}+1 \right)+1\).

b) Cho \({{x}^{2}}={{y}^{2}}+{{z}^{2}}\). Chứng minh rằng \(\left( 5x-3y+4z \right)\left( 5x-3y-4z \right)={{\left( 3x-5y \right)}^{2}}\)

Câu 2 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử \({{a}^{10}}+{{a}^{5}}+1\) 

b) Cho x+y=1 và \(xy\ne 0\). Chứng minh rằng \(\frac{x}{{{y}^{3}}-1}-\frac{y}{{{x}^{3}}-1}+\frac{2\left( x-y \right)}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+3}=0\).

Câu 3 (2 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J. Chứng minh:

a) \(\frac{1}{OI}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\).

b) \(\frac{2}{IJ}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\).

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(P=2{{a}^{3}}+7{{a}^{2}}b+7a{{b}^{2}}+2{{b}^{3}}\).

b) Giải phương trình: \({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x=0\).

Câu 2

a) Chứng minh rằng \({{n}^{3}}+11n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

b) Cho \(x+y=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\).

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.

a) Tứ giác BEDF là hình gì? Hãy chứng minh điều đó?

b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK.

c) Chứng minh rằng: \(AB.AH+AD.AK=A{{C}^{2}}\).

.........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1. Cho biểu thức \(A=\frac{{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4}{{{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+9}\)

a) Rút gọn A.

b) Tìm x để A=0.

c) Tìm giá trị của A khi \(\left| 2x-1 \right|=7\)

Câu 2. Cho \(\Delta ABC\) cân tại A, có \(BC=2a\), M là trung điểm của BC. Lấy D, E thuộc AB, AC sao cho \(\widehat{DME}=\widehat{B}\).

a) Chứng minh BD.CE không đổi.

b) Chứng minh DM là tia phân giác của \(\widehat{BDE}\).

c) Tính chu vi của tam giác AED nếu \(\Delta ABC\) đều.

........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Mỹ An. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.