Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Nam Dương

TRƯỜNG THCS NAM DƯƠNG

ĐỀ THI HSG LỚP 8 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(2{{x}^{2}}+5x-3.\)

b) \({{x}^{4}}+2009{{x}^{2}}+2008x+2009.\)

c) \(\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)\left( x+8 \right)+16.\)

Câu 2. (3,0 điểm).

a) Rút gọn biểu thức: \({{\left( x-y+z \right)}^{2}}+{{\left( z-y \right)}^{2}}+\left( x-y+z \right)\left( 2y-2z \right).\)

b) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

\(\left( \frac{1}{{{x}^{2}}+x}+\frac{1}{{{x}^{2}}+3x+2}+\frac{1}{{{x}^{2}}+5x+6}+\frac{1}{{{x}^{2}}+7x+12}+\frac{1}{{{x}^{2}}+9x+20} \right).\frac{{{x}^{2}}+5x}{5}.\)

Câu 3

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I. Chứng minh tam giác AID là tam giác cân.

Câu 4

Tìm cặp  số nguyên \(\left( x;y;z \right)\) thỏa mãn phương trình:

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4064497=2\left( 15x+4y+2014z \right)\)

Câu 5. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho \(n+1\) và \(2n+1\) đều là các số chính phương thì n là bội số của 24.

ĐÁP ÁN

Câu 1

a) \(2{{x}^{2}}+5x-3=2{{x}^{2}}+6x-x-3\)

\(=2x\left( x+3 \right)-\left( x+3 \right)=\left( x+3 \right)\left( 2x-1 \right)\)

b) \({{x}^{4}}+2009{{x}^{2}}+2008x+2009={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1+2008{{x}^{2}}+2008x+2008\)

\(\begin{array}{l}
 = ({x^2} + x + 1)({x^2} - x + 1) + 2008({x^2} + x + 1)\\
 = ({x^2} + x + 1)({x^2} - x + 1 + 2008) = ({x^2} + x + 1)({x^2} - x + 2009)
\end{array}\) 

c) \(\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)\left( x+8 \right)+16=\left( x+2 \right)\left( x+8 \right)\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)+16\)

\(=\left( {{x}^{2}}+10x+16 \right)\left( {{x}^{2}}+10x+24 \right)+16\) 

Đặt \({{x}^{2}}+10x+20=t\) 

\(=\left( t-4 \right)\left( t+4 \right)+16={{t}^{2}}-16+16={{t}^{2}}\)

\(={{\left( {{x}^{2}}+10x+20 \right)}^{2}}\)

Câu 2

a) \({{\left( x-y+z \right)}^{2}}+{{\left( z-y \right)}^{2}}+\left( x-y+z \right)\left( 2y-2z \right)\) 

\(\begin{array}{l}
 = {\left( {x - y + z} \right)^2} + 2\left( {x - y + z} \right)\left( {y - z} \right) + {\left( {y - z} \right)^2}\\
 = {\left( {x - y + z + y - z} \right)^2}\\
 = {x^2}
\end{array}\)  

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1 

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử \({{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}+4x-4y-5\)

b) Chứng minh \(\forall n\in {{N}^{*}}\) thì \({{n}^{3}}+n+2\) là hợp số.

c) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

Câu 2. Cho phân thức: \(P=\left( \frac{3{{x}^{2}}+3}{{{x}^{3}}-1}-\frac{x-1}{{{x}^{2}}+x+1}-\frac{1}{x-1} \right).\frac{x-1}{2{{x}^{2}}-5x+5}\)

a) Rút gọn P                           

b) Tìm giá trị lớn nhất của P

Câu 3.

1) Giải phương trình:

a) \(\frac{x-1}{99}+\frac{x-3}{97}+\frac{x-5}{95}=\frac{x-2}{98}+\frac{x-4}{96}+\frac{x-968}{975}+\frac{x-6}{94}\)

b) \(\frac{1}{{{x}^{2}}-5x+6}+\frac{2}{{{x}^{2}}-8x+15}+\frac{3}{{{x}^{2}}-13x+40}=-\frac{6}{5}\)

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1 (2 điểm)

Cho \(M=\left( \frac{{{a}^{2}}+3a\text{+2}}{{{a}^{2}}+a-2}-\frac{{{a}^{2}}+a}{a-1} \right).\left( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{a-1} \right)\) 

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M.

b) Tìm a sao cho \(\frac{1}{M}-\frac{a+1}{8}\ge \frac{-1}{4}\).

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình \(2x{{\left( 8x-1 \right)}^{2}}\left( 4x-1 \right)=9\).

b) Với mọi \(n\in \mathbb{N}\) thì \({{n}^{5}}\) và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.

Câu 3 (3 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BC tại F.

a) Chứng minh \({{S}_{AOD}}={{S}_{BOC}}\).

b) Chứng minh: \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{EF}\)

c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF.

...........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1. Giải phương trình: \(\frac{1}{{{x}^{2}}+9x+20}+\frac{1}{{{x}^{2}}+11x+30}+\frac{1}{{{x}^{2}}+13x+42}=\frac{1}{18}\)

Câu 2.

a. Chứng minh rằng: n³ + 2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn.

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = \(\frac{x+1}{\left| x-2 \right|}\) với x là số nguyên.

Câu 3. Cho a, b, c khác nhau đôi một và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\). Rút gọn biểu thức:

\(M=\frac{1}{{{a}^{2}}+2b\text{c}}+\frac{1}{{{b}^{2}}+2\text{ac}}+\frac{1}{{{c}^{2}}+2\text{ab}}\) 

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \({{x}^{4}}+2013{{x}^{2}}+2012x+2013\).

b) Rút gọn biểu thức sau \(A=\left( \frac{{{x}^{2}}-2x}{2{{x}^{2}}+8}-\frac{2{{x}^{2}}}{8-4x+2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right)\left( 1-\frac{1}{x}-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)\). 

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình sau:

\({{(2{{x}^{2}}+x-2013)}^{2}}+4{{({{x}^{2}}-5x-2012)}^{2}}=4(2{{x}^{2}}+x-2013)({{x}^{2}}-5x-2012)\)

b) Chứng minh với mọi m, n, p, q ta đều có \({{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}+{{q}^{2}}+1\ge m\left( n+p+q+1 \right)\)

Câu 3. (2,0 điểm)

Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x+2 dư 10, f(x) chia cho x-2 dư 24, f(x) chia cho \({{x}^{2}}-4\) được thương là -5x và còn dư.

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Nam Dương. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.