Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lập phương trình:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập phương trình biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ 1: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị  và giảm mẫu số đi 4 đơn vị thì được một phân số bằng \(\frac{3}{4}.\) Tìm phân số ban đầu.

Giải

Gọi x là tử số của phân số phải tìm, điều kiện x là số nguyên. Vì:

* Phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 nên mẫu số bằng x + 11, suy ra phân số có dạng: \(\frac{x}{{x + 11}}.\)

* Khi tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm mẫu số đi 4 đơn vị thì được một phân số bằng \(\frac{3}{4}\) nên: \(\frac{{x + 3}}{{(x + 11) - 4}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{x + 7}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4(x + 3) = 3(x + 7)\)

\( \Leftrightarrow 4x - 3x = 21 - 12 \Leftrightarrow x = 9,\) thoả mãn điều kiện.

Vậy phân số cần tìm bằng \(\frac{9}{{20}}.\)

Ví dụ 2: Hiệu hai số bằng 8, số này gấp đôi số kia. Tìm hai số đó.

Giải

Gọi x là số thứ nhất trong hai số đã cho.

Vì:

 * Số thứ hai gấp đôi lần số thứ nhất nên nó bằng 2x.

* Hiệu hai số bằng 8 nên:

x – 2x = 8

hoặc 2x – x = 8

Giải (1), ta được  x = – 8, khi đó số còn lại bằng -16

Giải (2), ta được x = 8, khi đó số còn lại bằng 16.

Vậy có hai cặp số thoả mãn điều kiện đầu bài là -8 và -16 hoặc 8 và 16.

Ví dụ 3: Một số tự nhiên lẻ có hai chữ số và chia hết cho 5. Hiệu của số đó và chữ số hàng chục của nó bằng 68. Tìm số đó.

Giải

Gọi x là chữ số hàng chục của số phải tìm, điều kiện x là số nguyên và \(0 < x \le 9.\) Vì:

* Số cần tìm số lẻ và chia hết cho 5 nên chữ số hàng đơn vị của nó phải bằng 5, suy ra số cần tìm có dạng: \(\overline {x.5}  = 10x + 5\)

* Hiệu của số đó và chữ số hàng chục của nó bằng 68 nên:

\((10x + 5) - x = 68 \Leftrightarrow 9x = 63 \Leftrightarrow x = 7,\) thoả mãn điều kiện.

Vậy số cần tìm bằng 75.

Bài 1: Tổng hai số bằng 90, hiệu của chúng bằng 72. Tìm hai số đó.

Giải

Gọi số lớn là x. Từ giả thiết

* Tổng hai số hạng là 90, suy ra số nhỏ là 90 – x

* Hiệu của chúng bằng 72, suy ra:

x – (90 – x) = 72

\( \Leftrightarrow \) x – 90 + x = 72

\( \Leftrightarrow \) 2x = 162

\( \Leftrightarrow \) x = 81

Bài 2: Hai lớp 8A có tổng cộng 94 học sinh. Biết rằng 25% số học sinh 8A đạt loại học sinh giỏi, 20% số học sinh 8B đạt loại giỏi và tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21 học sinh. Tính số học sinh của mỗi lớp.

Giải

Gọi x giờ là số học sinh lớp 8A. Từ giả thiết:

Hai lớp 8A và 8B có tổng cộng 94 học sinh, suy ra lớp 8B có 94 – x học sinh.

25% số học sinh 8A đạt loại giỏi bằng \(\frac{{25x}}{{100}} = \frac{x}{4}\) học sinh

20% số học sinh 8B đạt loại giỏi bằng \(\frac{{20(94 - x)}}{{100}} = \frac{{94 - x}}{5}\) học sinh

Khi đó, ta có: \(\frac{x}{4} + \frac{{94 - x}}{5} = 21 \Leftrightarrow 5x + 4(94 - x) = 420 \Leftrightarrow x = 44\)

Vậy lớp 8A có 44 học sinh và lớp 8B có 50 học sinh.

Bài 3: Hai người cùng đi một lúc từ A để đến B, đường dài 120km. Người thứ nhất đi với vận tốc không đổi trên cả quãng đường. Người thứ hai trên nữa đầu của quãng đường với vận tốc lớn hơn vận tốc của người thứ nhất là 10km/h, đi trên nửa sau của quãng đường với vận tốc kém vận tốc người thứ nhất là 6 km/h. Biết rằng hai người đến B cùng một lúc, tỉnh vận tốc của hai người thứ nhất.

Giải

Gọi vận tốc của người thức nhất là x km/h. Từ giả thiết:

* Thời gian để đi từ A đến B của người thứ nhất bằng \(\frac{{120}}{x}\)

* Trên nửa đầu của quãng đường người thứ hai đi với vận tốc x + 10, do đó thời gian bằng \(\frac{{60}}{{x + 10}}\).

* Trên nửa sau của quãng đường người thứ hai đi với vận tốc x – 6, do đó thời gian đi bằng \(\frac{{60}}{{x - 6}}\)

Khi đó, ta có: \(\frac{{60}}{{x + 10}} + \frac{{60}}{{x - 6}} = \frac{{120}}{x} \Leftrightarrow \frac{1}{{x + 10}} + \frac{1}{{x - 6}} = \frac{2}{x}\)

\( \Leftrightarrow x(x - 6) + x(x + 10) = 2(x + 10)(x - 60\)

\(4x = 8x - 120 \Leftrightarrow 4x = 120 \Leftrightarrow x = 30\)

Vậy người thứ nhất đi với vận tốc 30 km/h

Qua bài giảng Giải bài toán bằng cách lập phương trình này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Biết cách giải bài toán bằng cách lập phương trình
• Vận dụng được kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Bài 6 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Số thứ nhất gấp 6 lần số thứ 2. Nếu gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là 

  • A. 6x
  • B. \(\frac{x}{6}\)
  • C. \(\frac{6}{x}\)
  • D. x + 6

• Câu 2:

  Tổng hai số là 20. Nếu gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là

  • A. 20x
  • B. 20 + x
  • C. 20 - x
  • D. x - 20

• Câu 3:

  Hai xe ô tô cùng đi từ A đến B. Biết xe thứ nhất đi nhanh hơn xe thứ hai là 5km/h. Vận tốc xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là:

  • A. x và x + 5
  • B. x và x - 5
  • C. x + 5 và x
  • D. x - 5 và x

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 34 trang 25 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 35 trang 25 SGK Toán 8 Tập 2

Bài tập 36 trang 26 SGK Toán 8 Tập 2

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!